На плоскости отметили несколько точек , никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждую пару этих точек провели прямую. Всего получилось 55 прямых. Сколько отметили точек?

Пусть количество точек на плоскости равно \( n \). Количество прямых, проходящих через каждую пару точек, можно вычислить по формуле для сочетаний: \[ C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2} \] Зная, что всего получилось 55 прямых, можем записать уравнение: \[ \frac{n(n-1)}{2} = 55 \] Умножим обе стороны на 2: \[ n(n-1) = 110 \] Теперь решим это уравнение. Перепишем его в стандартном виде: \[ n^2 - n - 110 = 0 \] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441 \] Теперь найдём корни уравнения: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{1 \pm 21}{2} \] Считаем два возможных значения для \( n \): 1. \( n_1 = \frac{22}{2} = 11 \) 2. \( n_2 = \frac{-20}{2} = -10 \) (не принимаем, так как количество точек не может быть отрицательным) Таким образом, количество точек на плоскости равно \( n = 11 \).