Давайте решим уравнение ((x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) = 3).
Сначала обозначим (y = x^2 - 2x). Тогда уравнение можно переписать следующим образом:
[
y^2 - 2y = 3
]
Теперь перенесем 3 на левую сторону:
[
y^2 - 2y - 3 = 0
]
Решим это квадратное уравнение, используя формулу:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a = 1), (b = -2), (c = -3). Подставим значения:
[
y = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}
]
Теперь найдем два возможных значения для (y):
- (y = \frac{6}{2} = 3)
- (y = \frac{-2}{2} = -1)
Теперь возвращаемся к исходной замене (y = x^2 - 2x).
- Для (y = 3):
[
x^2 - 2x = 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0
]
Это уравнение можно разложить:
[
(x - 3)(x + 1) = 0
]
Таким образом, (x = 3) или (x = -1).
- Для (y = -1):
[
x^2 - 2x = -1 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x - 1)^2 = 0
]
Здесь у нас есть единственное решение: (x = 1).
Итак, все решения уравнения:
[
x = 3, \quad x = -1, \quad x = 1
]
