(х квадрат-2х)квадрат-2(х квадрат-2х)=3
Давайте решим уравнение \((x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) = 3\).
Сначала обозначим \(y = x^2 - 2x\). Тогда уравнение можно переписать следующим образом:
\[ y^2 - 2y = 3 \]
Теперь перенесем 3 на левую сторону:
\[ y^2 - 2y - 3 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение, используя формулу:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\). Подставим значения:
\[ y = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Теперь найдем два возможных значения для \(y\):
- \(y = \frac{6}{2} = 3\)
- \(y = \frac{-2}{2} = -1\)
Теперь возвращаемся к исходной замене \(y = x^2 - 2x\).
- Для \(y = 3\):
\[ x^2 - 2x = 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \]
Это уравнение можно разложить:
\[ (x - 3)(x + 1) = 0 \]
Таким образом, \(x = 3\) или \(x = -1\).
- Для \(y = -1\):
\[ x^2 - 2x = -1 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x - 1)^2 = 0 \]
Здесь у нас есть единственное решение: \(x = 1\).
Итак, все решения уравнения:
\[ x = 3, \quad x = -1, \quad x = 1 \]
