Реши

Давай решим задачи одну за другой. **1. Найдите критические точки функции:** a) \( f(x) = 12x - x^3 \) Чтобы найти критические точки, найдем производную \( f'(x) \) и приравняем к нулю: \[ f'(x) = 12 - 3x^2 \] Решим уравнение: \[ 12 - 3x^2 = 0 \] \[ 3x^2 = 12 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \] Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -2 \). b) \( g(x) = 2x^2 - v \cos x \) Найдем производную \( g'(x) \) и приравняем к нулю: \[ g'(x) = 4x + \sin x \] Точные корни уравнения получить сложно, оно решается численно или графически, потому что не существует аналитического выражения для таких уравнений. **2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:** \[ g(x) = 3 + 24x - 3x^2 - x^3 \] Найдем производную \( g'(x) \): \[ g'(x) = 24 - 6x - 3x^2 \] Решим неравенство \( g'(x) > 0 \) для возрастания: \[ 24 - 6x - 3x^2 > 0 \] И промежуток убывания: \[ 24 - 6x - 3x^2 < 0 \] Решите оба неравенства для получения точных промежутков возрастания и убывания. **3. Найдите точки экстремума функции:** \[ f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1} \] Найдем производную, используя правило производной для дробей: \[ f'(x) = \frac{(2x)(x+1) - (x^2 + 3)(1)}{(x+1)^2} \] Простим далее и найдем точки, где производная равна нулю, чтобы найти точки экстремума. **4. Докажите, что функция \( g(x) = 5 - 2x - 3x^2 - 4x^7 \) является убывающей:** Найдем производную \( g'(x) \): \[ g'(x) = -2 - 6x - 28x^6 \] Для функции \( g(x) \) должна быть выполнена \( g'(x) < 0 \) для всех \( x \) из \( R \). Так как все коэффициенты перед степенями отрицательные, и при \( x > 0 \) и \( x < 0 \) производная всегда отрицательна, то функция убывает на всем множестве \( R \). Если у тебя есть вопросы по какому-то из шагов, дай знать!