Реши

Давай решим задачи одну за другой.

1. Найдите критические точки функции:

a) \( f(x) = 12x - x^3 \)

Чтобы найти критические точки, найдем производную \( f'(x) \) и приравняем к нулю: \[ f'(x) = 12 - 3x^2 \]

Решим уравнение: \[ 12 - 3x^2 = 0 \] \[ 3x^2 = 12 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \]

Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

b) \( g(x) = 2x^2 - v \cos x \)

Найдем производную \( g'(x) \) и приравняем к нулю: \[ g'(x) = 4x + \sin x \]

Точные корни уравнения получить сложно, оно решается численно или графически, потому что не существует аналитического выражения для таких уравнений.

2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

\[ g(x) = 3 + 24x - 3x^2 - x^3 \]

Найдем производную \( g'(x) \): \[ g'(x) = 24 - 6x - 3x^2 \]

Решим неравенство \( g'(x) > 0 \) для возрастания: \[ 24 - 6x - 3x^2 > 0 \]

И промежуток убывания: \[ 24 - 6x - 3x^2 < 0 \]

Решите оба неравенства для получения точных промежутков возрастания и убывания.

3. Найдите точки экстремума функции:

\[ f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1} \]

Найдем производную, используя правило производной для дробей: \[ f'(x) = \frac{(2x)(x+1) - (x^2 + 3)(1)}{(x+1)^2} \]

Простим далее и найдем точки, где производная равна нулю, чтобы найти точки экстремума.

4. Докажите, что функция \( g(x) = 5 - 2x - 3x^2 - 4x^7 \) является убывающей:

Найдем производную \( g'(x) \): \[ g'(x) = -2 - 6x - 28x^6 \]

Для функции \( g(x) \) должна быть выполнена \( g'(x) < 0 \) для всех \( x \) из \( R \).

Так как все коэффициенты перед степенями отрицательные, и при \( x > 0 \) и \( x < 0 \) производная всегда отрицательна, то функция убывает на всем множестве \( R \).

Если у тебя есть вопросы по какому-то из шагов, дай знать!