Чтобы найти площадь треугольника, ограниченного заданными прямыми, сначала найдем точки пересечения этих прямых.
- Прямая y = 0 (ось X)
- Прямая y - x = 0 → y = x
- Прямая 2y - x - 6 = 0 → 2y = x + 6 → y = (x + 6)/2
Теперь мы найдем точки пересечения:
1. Пересечение прямых y = 0 и y = x:
- Подставим y = 0 в y = x:
[
0 = x \Rightarrow x = 0
]
Точка пересечения: (0, 0)
2. Пересечение прямых y = 0 и y = (x + 6)/2:
- Подставим y = 0 в уравнение:
[
0 = (x + 6)/2 \Rightarrow x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6
]
Точка пересечения: (-6, 0)
3. Пересечение прямых y = x и y = (x + 6)/2:
- Приравняем y = x и y = (x + 6)/2:
[
x = (x + 6)/2
]
Умножим обе стороны на 2:
[
2x = x + 6 \Rightarrow 2x - x = 6 \Rightarrow x = 6
]
Подставим x = 6 в y = x:
[
y = 6
]
Точка пересечения: (6, 6)
Теперь у нас есть три вершины треугольника: (0, 0), (-6, 0) и (6, 6).
Теперь можем найти площадь треугольника по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|
]
где (x1, y1) = (0, 0), (x2, y2) = (-6, 0), (x3, y3) = (6, 6).
Подставим значения в формулу:
[
S = \frac{1}{2} \left| 0(0-6) + (-6)(6-0) + 6(0-0) \right|
]
[
= \frac{1}{2} \left| 0 - 36 + 0 \right|
]
[
= \frac{1}{2} \cdot 36 = 18
]
Итак, площадь треугольника равна 18 квадратных единиц.
