Обозначим острые углы прямоугольного треугольника как ( A ) и ( B ), где ( C ) - прямой угол. Известно, что угол между высотой ( CH ) и медианой ( CM ), проведенными из вершины ( C ), равен ( 26^\circ ).
По свойствам треугольников можно вывести, что:
[
\angle A + \angle B = 90^\circ
]
так как сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ), а один из углов равен ( 90^\circ ).
К тому же, высота делит угол ( C ) пополам, и, учитывая наш угол между высотой и медианой, можно записать:
[
\angle MCH = \frac{\angle A}{2} \quad \text{(это угол между медианой и стороны AC)}
]
[
\angle HCM = \frac{\angle B}{2} \quad \text{(это угол между высотой и стороны BC)}
]
Таким образом, имеем:
[
\angle MCH + \angle HCM = 26^\circ
]
Замена:
[
\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = 26^\circ
]
Поскольку ( \angle A + \angle B = 90^\circ ):
[
\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ
]
Теперь мы можем записать:
[
45^\circ = 26^\circ + \frac{\angle B - \angle A}{2}
]
Это уравнение можно преобразовать, чтобы найти значения углов ( A ) и ( B ).
Следовательно, выразим:
[
\frac{\angle B - \angle A}{2} = 45^\circ - 26^\circ = 19^\circ
]
Получаем:
[
\angle B - \angle A = 38^\circ
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( \angle A + \angle B = 90^\circ )
- ( \angle B - \angle A = 38^\circ )
Сложим эти два уравнения:
[
2\angle B = 128^\circ \implies \angle B = 64^\circ
]
Подставим значение ( \angle B ) в первое уравнение:
[
\angle A + 64^\circ = 90^\circ \implies \angle A = 26^\circ
]
Таким образом, больший из острых углов этого треугольника равен:
[
\boxed{64^\circ}
]
