доказать равенство треугольников, найти угол А

На рисунке изображен равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \) с основанием \( AC \) и высотой \( BD \). Даны: \( \angle DBC = 40^\circ \) и \( AD = DC \).

1. Доказательство равенства треугольников:

   Треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBD \) равны по следующему признаку:

   • Сторона-угол-сторона (СУС):
     • \( AD = DC \) (по условию)
     • \( \angle ADB = \angle CDB = 90^\circ \) (оба являются прямыми углами)
     • \( BD \) – общая сторона.

   Согласно признаку СУС, \( \triangle ABD \cong \triangle CBD \).

2. Найдем угол \( A \) (или \( B \)):

   Поскольку треугольники равны, углы при основании равны: \[ \angle BAC = \angle BCA \]

   • Так как \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 90^\circ + 40^\circ = 130^\circ \),
   • Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \):

   \[ 2\angle BAC + 130^\circ = 180^\circ \]

   \[ 2\angle BAC = 50^\circ \]

   \[ \angle BAC = 25^\circ \]

Итак, угол \( A \) равен \( 25^\circ \).