Реши все через дискриминант
Конечно! Давайте решим эти уравнения через дискриминант.
Формула квадратного уравнения имеет вид:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Корни уравнения находятся по формулам:
Если \( D > 0 \), то два различных корня: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]
Если \( D = 0 \), то один корень: \[ x = \frac{-b}{2a} \]
Если \( D < 0 \), то действительных корней нет.
Решим уравнения:
а) \( 3x^2 - 14x + 16 = 0 \)
\[ a = 3, \; b = -14, \; c = 16 \] \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4 \] \( D > 0 \), значит два корня: \[ x_1 = \frac{14 + \sqrt{4}}{6} = \frac{14 + 2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \] \[ x_2 = \frac{14 - \sqrt{4}}{6} = \frac{14 - 2}{6} = \frac{12}{6} = 2 \]
б) \( 5x^2 - 16x + 3 = 0 \)
\[ a = 5, \; b = -16, \; c = 3 \] \[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 \] \( D > 0 \), значит два корня: \[ x_1 = \frac{16 + \sqrt{196}}{10} = \frac{16 + 14}{10} = \frac{30}{10} = 3 \] \[ x_2 = \frac{16 - \sqrt{196}}{10} = \frac{16 - 14}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]
в) \( 3x^2 - 22x - 28 = 0 \)
\[ a = 3, \; b = -22, \; c = -28 \] \[ D = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 484 + 336 = 820 \] \( D > 0 \), значит два корня: \[ x_1 = \frac{22 + \sqrt{820}}{6} \] \[ x_2 = \frac{22 - \sqrt{820}}{6} \]
г) \( 15y^2 - 22y - 7 = 0 \)
\[ a = 15, \; b = -22, \; c = -7 \] \[ D = (-22)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-7) = 484 + 420 = 904 \] \( D > 0 \), значит два корня: \[ y_1 = \frac{22 + \sqrt{904}}{30} \] \[ y_2 = \frac{22 - \sqrt{904}}{30} \]
д) \( 17x^2 - 20x + 7 = 0 \)
\[ a = 17, \; b = -20, \; c = 7 \] \[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 17 \cdot 7 = 400 - 476 = -76 \] \( D < 0 \), значит действительных корней нет.
е) \( 3y^2 - 10y - 25 = 0 \)
\[ a = 3, \; b = -10, \; c = -25 \] \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-25) = 100 + 300 = 400 \] \( D > 0 \), значит два корня: \[ y_1 = \frac{10 + \sqrt{400}}{6} = \frac{10 + 20}{6} = \frac{30}{6} = 5 \] \[ y_2 = \frac{10 - \sqrt{400}}{6} = \frac{10 - 20}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \]
Это все решения уравнений через дискриминант.
