реши все задачи

Сейчас разберём задачи одну за другой.

Задача №10

Дано, что \(\triangle ABC\) равнобедренный, \(AB = AC\), и \(\angle ACB = 110^\circ\).

Нужно найти угол \(CAD\).

Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, углы при основании равны. Это значит, что угол \(\angle CAB = \angle ABC\).

Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\): \[ \angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \]

Подставим заданные значения: \[ \angle CAB + \angle CAB + 110^\circ = 180^\circ \]

Получим уравнение: \[ 2\angle CAB = 70^\circ \]

Следовательно: \[ \angle CAB = 35^\circ \]

Поскольку \(D\) — точка на стороне \(AB\), угол \(\angle CAD = \angle CAB = 35^\circ\).

Ответ: \(35^\circ\).

Задача №11

Дано, что \(S_{ABC} = 2 \cdot S_{ABD}\).

Тогда \(\triangle ABD\) занимает половину площади треугольника \(\triangle ABC\). Это возможно в равнобедренном треугольнике, когда \(D\) находится на середине стороны \(BC\).

Следовательно, треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\) равны, так как \(D\) — середина основания \(BC\).

Нужно найти угол \(\angle ACD\).

Так как треугольники равны, угол \(\angle ACD = \angle ABD\).

Поскольку \(D\) — середина основания, у нас есть угол \(\angle ABC\), равный \(\angle ACB\), и каждый из них по \(45^\circ\) (как часть оставшихся углов) делится между треугольниками.

Поскольку угол при вершине \(A\) равнобедренного треугольника \(ABC\) равен \(\angle BAC = 90^\circ\), то угол разделяются на два угла по \(45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).

Задача №12

Так как \( \angle ABC + \angle CAB = \angle BAC + \angle BCA\) и \(\angle BAC = 2 \cdot \angle BCA\), то нужно найти углы треугольника.

Пусть \(\angle BCA = x\). Тогда угол \(\angle BAC = 2x\).

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \[ x + 2x + \angle ABC = 180^\circ \]

Обозначив \(\angle ABC = y\), получаем: \[ 3x + y = 180^\circ \]

По условию \(\angle ABC + \angle CAB = \angle BAC + \angle BCA\): \[ y + 2x = 2x + x \] \[ y = x \]

Подставляем \(y = x\) в уравнение: \[ 3x + x = 180^\circ \] \[ 4x = 180^\circ \] \[ x = 45^\circ \]

Следовательно: \[ \angle BCA = 45^\circ \] \[ \angle BAC = 90^\circ \] \[ \angle ABC = 45^\circ \]

Ответ: \(45^\circ, 90^\circ, 45^\circ\).