Дан параллелепипед АВСDА'В'С'D' , где А(1;-1;2), B(0;2;-3), D(4;3;5), A'(3;-5;6).
Сделать чертеж в системе координат.
Найти объем АВСDА'В'С'D'.
Найти площадь основания АВСD.
Найти высоту А'Н, опущенную на (АВСD).
Найти угол между АВ и А'D'.
Даны две смежные вершины квадрата А(-2;0), В(1;4). Составить уравнения всех сторон квадрата. Сделать чертеж в системе координат.
Составить уравнение параболы, если дан ее фокус F(7;2) и уравнение директрисы х-5=0.
### 1. Объем параллелепипеда ABCDA'B'C'D'
1. **Нахождение векторов**:
- \(\vec{AB} = B - A = (0-1, 2-(-1), -3-2) = (-1, 3, -5)\)
- \(\vec{AD} = D - A = (4-1, 3-(-1), 5-2) = (3, 4, 3)\)
- \(\vec{AA'} = A' - A = (3-1, -5-(-1), 6-2) = (2, -4, 4)\)
2. **Объем**:
\[
V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AD} \times \vec{AA'})|
\]
- \(\vec{AD} \times \vec{AA'}\):
\[
\vec{AD} \times \vec{AA'} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
3 & 4 & 3 \\
2 & -4 & 4
\end{vmatrix}
= \hat{i}(16 - 12) - \hat{j}(12 - 6) + \hat{k}(-12 - 8) = 4\hat{i} - 6\hat{j} - 20\hat{k}
\]
- \(\vec{AB} \cdot (4, -6, -20) = (-1 \cdot 4) + (3 \cdot -6) + (-5 \cdot -20) = -4 - 18 + 100 = 78\)
Таким образом, объем:
\[
V = |78| = 78
\]
### 2. Площадь основания ABCD
1. **Площадь параллелограмма ABD**:
\[
S = |\vec{AB} \times \vec{AD}|
\]
- \(\vec{AB} \times \vec{AD}\):
\[
= \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
-1 & 3 & -5 \\
3 & 4 & 3
\end{vmatrix}
= \hat{i}(-9 + 15) - \hat{j}(-3 - 15) + \hat{k}(-4 - 9) = 6\hat{i} + 18\hat{j} - 13\hat{k}
\]
- Длина вектора: \(\sqrt{6^2 + 18^2 + (-13)^2} = \sqrt{36 + 324 + 169} = \sqrt{529} = 23\).
Площадь ABCD:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB} \times \vec{AD}| = \frac{1}{2} \cdot 23 = 11.5
\]
### 3. Высота A'H, опущенная на ABCD
Высота \(h\) будет равна длине проекции вектора \(\vec{AA'}\) на нормаль к плоскости ABCD (вектор, нормальный к плоскости ABCD можно взять из результата \( \vec{AB} \times \vec{AD} \)).
1. Нормаль \(\vec{N} = (6, 18, -13)\):
\[
h = \frac{|\vec{AA'} \cdot \vec{N}|}{|\vec{N}|}
\]
- Нормаль: \(N = \sqrt{6^2 + 18^2 + (-13)^2} = 23\).
- \(\vec{AA'} \cdot \vec{N} = \vec{AA'} \cdot (6, 18, -13) = (2)(6) + (-4)(18) + (4)(-13) = 12 - 72 - 52 = -112\).
- \(h = \frac{|-112|}{23} \approx 4.87.\)
### 4. Угол между AB и A'D'
Используем скалярное произведение для нахождения угла:
1. \(\vec{AB} = (-1, 3, -5)\) и \(\vec{A'D'} = D' - A' = (1, 8, -1)\):
\[
\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{A'D'}}{|\vec{AB}| |\vec{A'D'}|}
\]
Скалярное произведение:
\(\vec{AB} \cdot \vec{A'D'} = -1 \cdot 1 + 3 \cdot 8 + (-5) \cdot -1 = -1 + 24 + 5 = 28\).
Длины:
\(|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{35}\),
\(|\vec{A'D'}| = \sqrt{1^2 + 8^2 + (-1)^2} = \sqrt{66}\).
Таким образом,
\(\cos \theta = \frac{28}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{66}} \Rightarrow \theta \approx \cos^{-1}(\frac{28}{\sqrt{2310}})\).
### 5. Уравнения сторон квадрата AB:
С координатами \(A(-2; 0)\) и \(B(1; 4)\):
1. Угол наклона: \(k = \frac{4-0}{1-(-2)} = \frac{4}{3}\)
2. Уравнение стороны AB:
\[
y - y_1 = k(x - x_1) \Rightarrow y = \frac{4}{3}x + \frac{8}{3}.
\]
Угловой перпендикуляр:
\[
y = -\frac{3}{4}(x - (-2)) + 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{4}x - \frac{3}{2}.
\]
Таким образом уравнения всех сторон:
1. \(AB: y = \frac{4}{3}x + \frac{8}{3}\),
2. Перпендикуляр: \(y = -\frac{3}{4}x - \frac{3}{2}\),
3. Далее строим оставшиеся стороны.
### 6. Уравнение параболы
Фокус \(F(7, 2)\) и директрисса \(x - 5 = 0\):
1. Уравнение: \((x - 5)^2 = 4p(y - 2)\)
- \(p = 2\) (расстояние от фокуса до директриссы).
Финальное уравнение:
\[
(x - 5)^2 = 8(y - 2).
\]
