Дан параллелепипед АВСDА'В'С'D' , где А(1;-1;2), B(0;2;-3), D(4;3;5), A'(3;-5;6). Сделать чертеж в системе координат. Найти объем АВСDА'В'С'D'. Найти площадь основания АВСD. Найти…

1. Объем параллелепипеда ABCDA'B'C'D'

1. Нахождение векторов:

   • \(\vec{AB} = B - A = (0-1, 2-(-1), -3-2) = (-1, 3, -5)\)
   • \(\vec{AD} = D - A = (4-1, 3-(-1), 5-2) = (3, 4, 3)\)
   • \(\vec{AA'} = A' - A = (3-1, -5-(-1), 6-2) = (2, -4, 4)\)

2. Объем: \[ V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AD} \times \vec{AA'})| \]

   • \(\vec{AD} \times \vec{AA'}\): \[ \vec{AD} \times \vec{AA'} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 3 \\ 2 & -4 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(16 - 12) - \hat{j}(12 - 6) + \hat{k}(-12 - 8) = 4\hat{i} - 6\hat{j} - 20\hat{k} \]

   • \(\vec{AB} \cdot (4, -6, -20) = (-1 \cdot 4) + (3 \cdot -6) + (-5 \cdot -20) = -4 - 18 + 100 = 78\)

   Таким образом, объем: \[ V = |78| = 78 \]

2. Площадь основания ABCD

1. Площадь параллелограмма ABD: \[ S = |\vec{AB} \times \vec{AD}| \]

   • \(\vec{AB} \times \vec{AD}\): \[ = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 3 & -5 \\ 3 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9 + 15) - \hat{j}(-3 - 15) + \hat{k}(-4 - 9) = 6\hat{i} + 18\hat{j} - 13\hat{k} \]
   • Длина вектора: \(\sqrt{6^2 + 18^2 + (-13)^2} = \sqrt{36 + 324 + 169} = \sqrt{529} = 23\).

   Площадь ABCD: \[ S = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB} \times \vec{AD}| = \frac{1}{2} \cdot 23 = 11.5 \]

3. Высота A'H, опущенная на ABCD

Высота \(h\) будет равна длине проекции вектора \(\vec{AA'}\) на нормаль к плоскости ABCD (вектор, нормальный к плоскости ABCD можно взять из результата \( \vec{AB} \times \vec{AD} \)).

1. Нормаль \(\vec{N} = (6, 18, -13)\): \[ h = \frac{|\vec{AA'} \cdot \vec{N}|}{|\vec{N}|} \]
   • Нормаль: \(N = \sqrt{6^2 + 18^2 + (-13)^2} = 23\).
   • \(\vec{AA'} \cdot \vec{N} = \vec{AA'} \cdot (6, 18, -13) = (2)(6) + (-4)(18) + (4)(-13) = 12 - 72 - 52 = -112\).
   • \(h = \frac{|-112|}{23} \approx 4.87.\)

4. Угол между AB и A'D'

Используем скалярное произведение для нахождения угла:

1. \(\vec{AB} = (-1, 3, -5)\) и \(\vec{A'D'} = D' - A' = (1, 8, -1)\): \[ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{A'D'}}{|\vec{AB}| |\vec{A'D'}|} \] Скалярное произведение: \(\vec{AB} \cdot \vec{A'D'} = -1 \cdot 1 + 3 \cdot 8 + (-5) \cdot -1 = -1 + 24 + 5 = 28\).

   Длины: \(|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{35}\), \(|\vec{A'D'}| = \sqrt{1^2 + 8^2 + (-1)^2} = \sqrt{66}\).

   Таким образом, \(\cos \theta = \frac{28}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{66}} \Rightarrow \theta \approx \cos^{-1}(\frac{28}{\sqrt{2310}})\).

5. Уравнения сторон квадрата AB:

С координатами \(A(-2; 0)\) и \(B(1; 4)\):

1. Угол наклона: \(k = \frac{4-0}{1-(-2)} = \frac{4}{3}\)

2. Уравнение стороны AB: \[ y - y_1 = k(x - x_1) \Rightarrow y = \frac{4}{3}x + \frac{8}{3}. \]

   Угловой перпендикуляр: \[ y = -\frac{3}{4}(x - (-2)) + 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{4}x - \frac{3}{2}. \]

Таким образом уравнения всех сторон:

1. \(AB: y = \frac{4}{3}x + \frac{8}{3}\),
2. Перпендикуляр: \(y = -\frac{3}{4}x - \frac{3}{2}\),
3. Далее строим оставшиеся стороны.

6. Уравнение параболы

Фокус \(F(7, 2)\) и директрисса \(x - 5 = 0\):

1. Уравнение: \((x - 5)^2 = 4p(y - 2)\)
   • \(p = 2\) (расстояние от фокуса до директриссы).

Финальное уравнение: \[ (x - 5)^2 = 8(y - 2). \]