Для решения задачи будем использовать распределение Бернулли, поскольку каждый из ламп перегорает независимо с заданной вероятностью.
Вероятность перегоревшей лампы ( p = 0,3 ) и вероятность, что лампа не перегорит ( q = 1 - p = 0,7 ).
Пусть ( X ) — случайная величина, которая обозначает количество перегоревших ламп. В данном случае ( X ) будет следовать биномиальному распределению с параметрами ( n = 16 ) (количество ламп) и ( p = 0,3 ) (вероятность перегорания каждой лампы).
Формула вероятности для биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ) — биномиальный коэффициент.
Нам нужно найти вероятность того, что перегорит не более двух ламп, т.е. ( P(X \leq 2) ):
[
P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
]
Теперь вычислим каждую из этих вероятностей.
- Для ( k = 0 ):
[
P(X = 0) = C(16, 0) \cdot (0,3)^0 \cdot (0,7)^{16} = 1 \cdot 1 \cdot (0,7)^{16} \approx 0,00003676
]
- Для ( k = 1 ):
[
P(X = 1) = C(16, 1) \cdot (0,3)^1 \cdot (0,7)^{15} = 16 \cdot 0,3 \cdot (0,7)^{15} \approx 16 \cdot 0,3 \cdot 0,00005212 \approx 0,000249075
]
- Для ( k = 2 ):
[
P(X = 2) = C(16, 2) \cdot (0,3)^2 \cdot (0,7)^{14} = \frac{16 \cdot 15}{2} \cdot (0,3)^2 \cdot (0,7)^{14} \approx 120 \cdot 0,09 \cdot 0,00007465 \approx 0,000676743
]
Теперь суммируем вероятности:
[
P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \approx 0,00003676 + 0,000249075 + 0,000676743 \approx 0,000962578
]
Округляя до тысячных, мы получаем:
[
\boxed{0,001}
]
