помещение освещено 16 лампами. Известно, что вероятность перегорания каждой лампы в течение года ровно 0,3. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того,…

Для решения задачи будем использовать распределение Бернулли, поскольку каждый из ламп перегорает независимо с заданной вероятностью.

Вероятность перегоревшей лампы \( p = 0,3 \) и вероятность, что лампа не перегорит \( q = 1 - p = 0,7 \).

Пусть \( X \) — случайная величина, которая обозначает количество перегоревших ламп. В данном случае \( X \) будет следовать биномиальному распределению с параметрами \( n = 16 \) (количество ламп) и \( p = 0,3 \) (вероятность перегорания каждой лампы).

Формула вероятности для биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент.

Нам нужно найти вероятность того, что перегорит не более двух ламп, т.е. \( P(X \leq 2) \):

\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]

Теперь вычислим каждую из этих вероятностей.

1. Для \( k = 0 \):

\[ P(X = 0) = C(16, 0) \cdot (0,3)^0 \cdot (0,7)^{16} = 1 \cdot 1 \cdot (0,7)^{16} \approx 0,00003676 \]

2. Для \( k = 1 \):

\[ P(X = 1) = C(16, 1) \cdot (0,3)^1 \cdot (0,7)^{15} = 16 \cdot 0,3 \cdot (0,7)^{15} \approx 16 \cdot 0,3 \cdot 0,00005212 \approx 0,000249075 \]

3. Для \( k = 2 \):

\[ P(X = 2) = C(16, 2) \cdot (0,3)^2 \cdot (0,7)^{14} = \frac{16 \cdot 15}{2} \cdot (0,3)^2 \cdot (0,7)^{14} \approx 120 \cdot 0,09 \cdot 0,00007465 \approx 0,000676743 \]

Теперь суммируем вероятности:

\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \approx 0,00003676 + 0,000249075 + 0,000676743 \approx 0,000962578 \]

Округляя до тысячных, мы получаем:

\[ \boxed{0,001} \]