Для решения обеих задач мы можем использовать биномиальное распределение, которое описывает количество успехов в серии независимых испытаний.
а) Вероятность выпадения шестёрки 7 раз при бросании кубика 20 раз
В данной ситуации:
- ( n = 20 ) (количество испытаний)
- ( k = 7 ) (количество успехов)
- ( p = \frac{1}{6} ) (вероятность успеха - получить шестёрку)
- ( q = 1 - p = \frac{5}{6} ) (вероятность не получения шестёрки)
Формула для биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) - биномиальный коэффициент, равный (\frac{n!}{k!(n-k)!} ).
Первый шаг — вычислим биномиальный коэффициент ( C(20, 7) ):
[
C(20, 7) = \frac{20!}{7! \cdot (20-7)!} = \frac{20!}{7! \cdot 13!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 77520
]
Теперь подставим все значения в формулу:
[
P(X = 7) = C(20, 7) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^7 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{13}
]
[
P(X = 7) = 77520 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^7 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{13}
]
[
\approx 77520 \cdot 0.000021433 \cdot 0.1865 \approx 0.031589
]
Таким образом, округленный ответ:
[
P(X = 7) \approx 0.032
]
б) Вероятность перегорения ровно трех ламп из 16
Здесь также используется биномиальное распределение:
- ( n = 16 )
- ( k = 3 )
- ( p = 0.3 )
- ( q = 0.7 )
Сначала вычислим биномиальный коэффициент ( C(16, 3) ):
[
C(16, 3) = \frac{16!}{3! \cdot (16-3)!} = \frac{16!}{3! \cdot 13!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 560
]
Теперь подставим все значения в формулу:
[
P(X = 3) = C(16, 3) \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^{16-3}
]
[
P(X = 3) = 560 \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^{13}
]
[
= 560 \cdot 0.027 \cdot 0.082354
]
[
\approx 560 \cdot 0.002223 \approx 1.24768
]
Таким образом, округленный ответ:
[
P(X = 3) \approx 0.124
]
Итого, ответы на задачи:
а) 0.032
б) 0.124
