а) Игральный кубик бросают 20 рез. Найдите вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз. Ответ округлите до тысячных. б) Помещение освещено 16 лампами. Известно, что…

Для решения обеих задач мы можем использовать биномиальное распределение, которое описывает количество успехов в серии независимых испытаний.

а) Вероятность выпадения шестёрки 7 раз при бросании кубика 20 раз

В данной ситуации:

• \( n = 20 \) (количество испытаний)
• \( k = 7 \) (количество успехов)
• \( p = \frac{1}{6} \) (вероятность успеха - получить шестёрку)
• \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \) (вероятность не получения шестёрки)

Формула для биномиального распределения: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( C(n, k) \) - биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Первый шаг — вычислим биномиальный коэффициент \( C(20, 7) \): \[ C(20, 7) = \frac{20!}{7! \cdot (20-7)!} = \frac{20!}{7! \cdot 13!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 77520 \]

Теперь подставим все значения в формулу: \[ P(X = 7) = C(20, 7) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^7 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \] \[ P(X = 7) = 77520 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^7 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \] \[ \approx 77520 \cdot 0.000021433 \cdot 0.1865 \approx 0.031589 \]

Таким образом, округленный ответ: \[ P(X = 7) \approx 0.032 \]

б) Вероятность перегорения ровно трех ламп из 16

Здесь также используется биномиальное распределение:

• \( n = 16 \)
• \( k = 3 \)
• \( p = 0.3 \)
• \( q = 0.7 \)

Сначала вычислим биномиальный коэффициент \( C(16, 3) \): \[ C(16, 3) = \frac{16!}{3! \cdot (16-3)!} = \frac{16!}{3! \cdot 13!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 560 \]

Теперь подставим все значения в формулу: \[ P(X = 3) = C(16, 3) \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^{16-3} \] \[ P(X = 3) = 560 \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^{13} \] \[ = 560 \cdot 0.027 \cdot 0.082354 \] \[ \approx 560 \cdot 0.002223 \approx 1.24768 \]

Таким образом, округленный ответ: \[ P(X = 3) \approx 0.124 \]

Итого, ответы на задачи: а) 0.032 б) 0.124