Задача о перегоревших лампах поддается использованию биномиального распределения. Обозначим:
- ( n = 16 ) — общее количество ламп,
- ( p = 0.3 ) — вероятность перегоревания одной лампы,
- ( q = 1 - p = 0.7 ) — вероятность того, что лампа не перегорит.
Необходимость найти вероятность того, что перегорит не более двух ламп, означает, что необходимо вычислить сумму вероятностей для случаев от 0 до 2 перегоревших ламп:
[
P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
]
Где ( X ) — количество перегоревших ламп, которое распределено по биномиальному закону ( B(n, p) ). Вероятность того, что перегорит ровно ( k ) ламп, вычисляется по формуле:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}
]
Теперь начнём с расчета значений для ( k = 0, 1, 2 ).
- Для ( k = 0 ):
[
P(X = 0) = \binom{16}{0} (0.3)^0 (0.7)^{16} = 1 \cdot 1 \cdot (0.7)^{16}
]
[
(0.7)^{16} \approx 0.0581 \quad (\text{округлено до четырёх знаков})
]
- Для ( k = 1 ):
[
P(X = 1) = \binom{16}{1} (0.3)^1 (0.7)^{15} = 16 \cdot 0.3 \cdot (0.7)^{15}
]
[
(0.7)^{15} \approx 0.0833 \quad (\text{округлено до четырёх знаков})
]
[
P(X = 1) \approx 16 \cdot 0.3 \cdot 0.0833 \approx 0.3998 \quad (\text{округлено до четырёх знаков})
]
- Для ( k = 2 ):
[
P(X = 2) = \binom{16}{2} (0.3)^2 (0.7)^{14} = \frac{16 \cdot 15}{2} \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^{14}
]
[
(0.7)^{14} \approx 0.1190 \quad (\text{округлено до четырёх знаков})
]
[
P(X = 2) \approx 120 \cdot 0.09 \cdot 0.1190 \approx 1.06968 \quad (\text{округлено до четырёх знаков})
]
Теперь подведем итоги:
[
P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
]
[
P(X \leq 2) \approx 0.0581 + 0.3998 + 1.06968 \approx 0.0279
]
Подсчитаем и округлим к тысячным:
[
P(X \leq 2) \approx 0.027
]
Таким образом, окончательный ответ: вероятность того, что в конце года перегорит не более двух ламп, составляет примерно ( \boxed{0.027} ).
