Помещение освещено 16 лампами. Известно, что вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,3. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того,…
Помещение освещено 16 лампами. Известно, что вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,3. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в конце года перегорит не более двух ламп. Ответ округлите до тысячных.
Задача о перегоревших лампах поддается использованию биномиального распределения. Обозначим:
- \( n = 16 \) — общее количество ламп,
- \( p = 0.3 \) — вероятность перегоревания одной лампы,
- \( q = 1 - p = 0.7 \) — вероятность того, что лампа не перегорит.
Необходимость найти вероятность того, что перегорит не более двух ламп, означает, что необходимо вычислить сумму вероятностей для случаев от 0 до 2 перегоревших ламп:
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
Где \( X \) — количество перегоревших ламп, которое распределено по биномиальному закону \( B(n, p) \). Вероятность того, что перегорит ровно \( k \) ламп, вычисляется по формуле:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]
Теперь начнём с расчета значений для \( k = 0, 1, 2 \).
- Для \( k = 0 \):
\[ P(X = 0) = \binom{16}{0} (0.3)^0 (0.7)^{16} = 1 \cdot 1 \cdot (0.7)^{16} \]
\[ (0.7)^{16} \approx 0.0581 \quad (\text{округлено до четырёх знаков}) \]
- Для \( k = 1 \):
\[ P(X = 1) = \binom{16}{1} (0.3)^1 (0.7)^{15} = 16 \cdot 0.3 \cdot (0.7)^{15} \]
\[ (0.7)^{15} \approx 0.0833 \quad (\text{округлено до четырёх знаков}) \]
\[ P(X = 1) \approx 16 \cdot 0.3 \cdot 0.0833 \approx 0.3998 \quad (\text{округлено до четырёх знаков}) \]
- Для \( k = 2 \):
\[ P(X = 2) = \binom{16}{2} (0.3)^2 (0.7)^{14} = \frac{16 \cdot 15}{2} \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^{14} \]
\[ (0.7)^{14} \approx 0.1190 \quad (\text{округлено до четырёх знаков}) \]
\[ P(X = 2) \approx 120 \cdot 0.09 \cdot 0.1190 \approx 1.06968 \quad (\text{округлено до четырёх знаков}) \]
Теперь подведем итоги:
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \] \[ P(X \leq 2) \approx 0.0581 + 0.3998 + 1.06968 \approx 0.0279 \]
Подсчитаем и округлим к тысячным:
\[ P(X \leq 2) \approx 0.027 \]
Таким образом, окончательный ответ: вероятность того, что в конце года перегорит не более двух ламп, составляет примерно \( \boxed{0.027} \).
