Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды с боковым ребром, равным 1, и углом ( \phi ) между боковым ребром и плоскостью основания, можно использовать следующую формулу для объема пирамиды:
[
V = \frac{1}{3} S_{осн} h,
]
где ( S_{осн} ) — площадь основания, а ( h ) — высота пирамиды.
- Найдите высоту ( h ): высота пирамиды может быть найдена, используя угол ( \phi ). Если боковое ребро равно 1, то высота ( h ) будет равна:
[
h = 1 \cdot \cos(\phi) = \cos(\phi).
]
- Найдите площадь основания ( S_{осн} ): основание у правильной треугольной пирамиды — равносторонний треугольник. Для нахождения его площади, нужно знать сторону треугольника. Обозначим сторону треугольника как ( a ).
При этом мы можем связать сторону ( a ) с боковым ребром и углом ( \phi ):
[
\sin(\phi) = \frac{h_a}{1},
]
где ( h_a ) — высота треугольника.
Поскольку высота ( h_a ) равна ( \frac{\sqrt{3}}{2} a ) (высота равностороннего треугольника), то:
[
\sin(\phi) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a}{1} \Rightarrow a = \frac{2 \sin(\phi)}{\sqrt{3}}.
]
Площадь ( S_{осн} ) равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
[
S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{2 \sin(\phi)}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4 \sin^2(\phi)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \sin^2(\phi).
]
- Подставьте найденные значения в формулу объема:
Подставляя высоту и площадь основания в формулу объема, получаем:
[
V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \sin^2(\phi) \cdot \cos(\phi).
]
Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды будет равен:
[
V = \frac{\sqrt{3}}{9} \sin^2(\phi) \cos(\phi).
]
Это окончательное выражение для объема правильной треугольной пирамиды с боковым ребром 1 и углом ( \phi ) между боковым ребром и плоскостью основания.
