Найди площадь фигуры, ограниченной прямыми x = 3 x=3 , x = 12 x=12 , осью O x Ox и графиком функции f ( x ) = x − 3 + 1 f(x)= x−3 +1 .
Для нахождения площади фигуры, ограниченной прямыми \(x = 3\), \(x = 12\), осью \(Ox\) и графиком функции \(f(x) = x - 3 + 1\), сначала упростим функцию:
\[ f(x) = x - 3 + 1 = x - 2. \]
Теперь найдём площадь фигуры, которая находится между графиком функции и осью \(Ox\) в пределах от \(x = 3\) до \(x = 12\).
- Найдём точки пересечения функции с осью \(Ox\): \[ f(x) = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2. \]
Поскольку \(x = 2\) находится за пределами нашего интервала \([3, 12]\), график функции не пересекает ось \(Ox\) в этом интервале, и функция всегда положительна.
Найдём площадь, ограниченную графиком функции и осью: Площадь под графиком функции от \(x = 3\) до \(x = 12\) вычисляется с помощью интеграла: \[ S = \int_{3}^{12} f(x) \, dx = \int_{3}^{12} (x - 2) \, dx. \]
Вычислим интеграл: \[ S = \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{3}^{12}. \]
Подставим границы: \[ S = \left( \frac{12^2}{2} - 2 \cdot 12 \right) - \left( \frac{3^2}{2} - 2 \cdot 3 \right). \]
Посчитаем каждую часть: \[ \frac{12^2}{2} - 2 \cdot 12 = \frac{144}{2} - 24 = 72 - 24 = 48, \] \[ \frac{3^2}{2} - 2 \cdot 3 = \frac{9}{2} - 6 = 4.5 - 6 = -1.5. \]
Теперь подставим результаты в формулу площади: \[ S = 48 - (-1.5) = 48 + 1.5 = 49.5. \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными условиями, составляет \(49.5\) квадратных единиц.
