семье Ковалёвых 4 ребенка: 2 девочки и 2 мальчика. Дети решили организовать очередь для игры в приставку. Выпишите все элементарные событие. Считая их равновозможными, найдите вероятность того, что: а) Первой будет играть девочка. б) Первой и последней будет играть девочка. в) будет чередование мальчика и девочки.
Для начала, определим, как обозначим детей в семье Ковалёвых: пусть девочки будут обозначены как \( D_1 \) и \( D_2 \), а мальчики — как \( M_1 \) и \( M_2 \).
### а) Все элементарные события
Общее количество детей — 4. Количество различных порядков, в которых могут стоять дети, можно найти, используя формулу для перестановки:
\[
4! = 24
\]
Все 24 элементарных события (порядка детей) представлены ниже:
1. \( D_1, D_2, M_1, M_2 \)
2. \( D_1, D_2, M_2, M_1 \)
3. \( D_1, M_1, D_2, M_2 \)
4. \( D_1, M_1, M_2, D_2 \)
5. \( D_1, M_2, D_2, M_1 \)
6. \( D_1, M_2, M_1, D_2 \)
7. \( D_2, D_1, M_1, M_2 \)
8. \( D_2, D_1, M_2, M_1 \)
9. \( D_2, M_1, D_1, M_2 \)
10. \( D_2, M_1, M_2, D_1 \)
11. \( D_2, M_2, D_1, M_1 \)
12. \( D_2, M_2, M_1, D_1 \)
13. \( M_1, D_1, D_2, M_2 \)
14. \( M_1, D_1, M_2, D_2 \)
15. \( M_1, M_2, D_1, D_2 \)
16. \( M_1, M_2, D_2, D_1 \)
17. \( M_2, D_1, D_2, M_1 \)
18. \( M_2, D_1, M_1, D_2 \)
19. \( M_2, M_1, D_1, D_2 \)
20. \( M_2, M_1, D_2, D_1 \)
21. \( D_1, D_2, M_1, M_2 \)
22. \( D_2, D_1, M_1, M_2 \)
23. \( M_1, M_2, D_1, D_2 \)
24. \( M_2, M_1, D_1, D_2 \)
### б) Вероятность, что первой будет играть девочка
Существуют 12 последовательностей, где первой стоит девочка (всего 2 девочки и 2 мальчика). Это можно просто посчитать:
1. \( D_1, D_2, M_1, M_2 \)
2. \( D_1, D_2, M_2, M_1 \)
3. \( D_1, M_1, D_2, M_2 \)
4. \( D_1, M_1, M_2, D_2 \)
5. \( D_1, M_2, D_2, M_1 \)
6. \( D_1, M_2, M_1, D_2 \)
7. \( D_2, D_1, M_1, M_2 \)
8. \( D_2, D_1, M_2, M_1 \)
9. \( D_2, M_1, D_1, M_2 \)
10. \( D_2, M_1, M_2, D_1 \)
11. \( D_2, M_2, D_1, M_1 \)
12. \( D_2, M_2, M_1, D_1 \)
Вероятность того, что первой будет играть девочка:
\[
P(\text{первая девочка}) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}
\]
### в) Вероятность, что первой и последней будет играть девочка
Для того чтобы первой и последней были девочки, возможны только следующие случаи:
1. \( D_1, \ldots, D_2 \)
2. \( D_2, \ldots, D_1 \)
В каждом из этих случаев между ними можно расставить двух мальчиков, что дает:
\[
2! = 2 \text{ (двух мальчиков можно расположить двумя способами)}
\]
Таким образом, имеем 2 перестановки для каждого из 2 случаев (первая девочка и последняя девочка):
1. \( D_1, M_1, M_2, D_2 \)
2. \( D_1, M_2, M_1, D_2 \)
3. \( D_2, M_1, M_2, D_1 \)
4. \( D_2, M_2, M_1, D_1 \)
Всего 4 случая, следовательно
\[
P(\text{первая и последняя девочка}) = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}
\]
### г) Вероятность, что будет чередование мальчика и девочки
Порядок может быть следующим:
1. \( D_1, M_1, D_2, M_2 \)
2. \( D_1, M_2, D_2, M_1 \)
3. \( D_2, M_1, D_1, M_2 \)
4. \( D_2, M_2, D_1, M_1 \)
Существует 4 таких расстановки.
Проверим, сколько таких случаев:
1. \( D, M, D, M \) (девочка, мальчик, девочка, мальчик)
2. \( M, D, M, D \) (мальчик, девочка, мальчик, девочка)
Это дает 8 возможных последовательностей:
1. \( D_1, M_1, D_2, M_2 \)
2. \( D_1, M_2, D_2, M_1 \)
3. \( D_2, M_1, D_1, M_2 \)
4. \( D_2, M_2, D_1, M_1 \)
5. \( M_1, D_1, M_2, D_2 \)
6. \( M_1, D_2, M_2, D_1 \)
7. \( M_2, D_1, M_1, D_2 \)
8. \( M_2, D_2, M_1, D_1 \)
Итак, вероятность того, что будет чередование мальчиков и девочек:
\[
P(\text{чередование}) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}
\]
В итоге:
а) Вероятность, что первой будет девочка: \( \frac{1}{2} \)
б) Вероятность, что первой и последней будет девочка: \( \frac{1}{6} \)
в) Вероятность, что будет чередование: \( \frac{1}{3} \)
