Вова загадал натуральное число Он зачеркнул у него последние цифры а затем прибавил к результату загаданное число и получил 8.084 Докажите что он ошибся
Рассмотрим задуманное Вовой натуральное число \( x \). Он зачеркнул у него последние \( k \) цифр, получив \( y \), и затем прибавил \( x \) к \( y \), получив \( 8084 \):
\[ y + x = 8084 \implies y = 8084 - x \]
При этом число \( y \) можно выразить как:
\[ y = \frac{x}{10^k} \]
где \( k \) — количество зачеркнутых цифр (то есть \( y \) является целым числом, а также \( y < x \)). Подставляем \( y \) в уравнение:
\[ \frac{x}{10^k} + x = 8084 \]
Умножим всё уравнение на \( 10^k \) для избавления от дроби:
\[ x + 10^k x = 8084 \cdot 10^k \] \[ x(1 + 10^k) = 8084 \cdot 10^k \] \[ x = \frac{8084 \cdot 10^k}{1 + 10^k} \]
Теперь, проанализируем, когда \( x \) будет натуральным числом. \( x \) будет натуральным, если \( 8084 \cdot 10^k \) делится на \( 1 + 10^k \).
Для этого рассмотрим \( 1 + 10^k \):
- Если \( k = 1 \), то \( 1 + 10^1 = 11 \).
- Если \( k = 2 \), то \( 1 + 10^2 = 101 \).
- Если \( k = 3 \), то \( 1 + 10^3 = 1001 \).
- Если \( k = 4 \), то \( 1 + 10^4 = 10001 \).
Мы рассматриваем делимость \( 8084 \) на \( 1 + 10^k \) для разных \( k \):
- \( k = 1 \): \( 8084 \div 11 \approx 735.818 \) (не делится)
- \( k = 2 \): \( 8084 \div 101 \approx 80.260 \) (не делится)
- \( k = 3 \): \( 8084 \div 1001 \approx 8.084 \) (не делится — дробное)
- \( k = 4 \): \( 8084 \div 10001 \approx 0.808 \) (не делится)
Таким образом, для всех \( k \) \( x \) не является натуральным числом, что противоречит условию задачи.
Следовательно, Вова ошибся.
