В алюминиевый стакан наливают кипяток так, что стакан становится полным. Стакан имеет цилиндрическую форму, его высота 14 см, радиус основания 3 см, толщина стенок 4 мм. Вычислите, какая установится температура стакана, если изначально его температура была 20 °С. Теплоёмкость алюминия с_а=920 Дж/(кг*С), воды с_в=4200 Дж/(кг*С). Плотность алюминия pа=2700 кг/м^3, воды pв=1000 кг/м^3. Потерями теплоты пренебречь.

Для решения задачи нужно сначала определить, сколько тепла будет передано алюминиевому стакану от кипятка, а затем найти установившуюся температуру стека. 1. **Выясним объем алюминиевого стакана.** Стакан имеет цилиндрическую форму, и его общий объем (V_ст) можно найти как разность объемов внешнего (V_внеш) и внутреннего (V_внутрен) цилиндров. Высота стакана h = 14 см = 0.14 м Внешний радиус (радиус основания + толщина стенки) R_внеш = 3 см + 0.4 см = 3.4 см = 0.034 м Внутренний радиус R_внутрен = 3 см = 0.03 м Формулы объема цилиндра: \[ V = \pi R^2 h \] Теперь находим объем внешнего и внутреннего цилиндров: \[ V_внеш = \pi (0.034)^2 \cdot 0.14 \] \[ V_внутрен = \pi (0.03)^2 \cdot 0.14 \] Подставим значения и вычислим: \[ V_внеш = \pi (0.034)^2 \cdot 0.14 \approx 0.00016073 \, \text{м}^3 \] \[ V_внутрен = \pi (0.03)^2 \cdot 0.14 \approx 0.00013273 \, \text{м}^3 \] Объем алюминия: \[ V_Al = V_внеш - V_внутрен \approx 0.00016073 - 0.00013273 \approx 0.000028 \, \text{м}^3 \] 2. **Теперь найдем массу алюминия**: \[ m_Al = p_a \cdot V_{Al} \approx 2700 \, \text{кг/м}^3 \cdot 0.000028 \, \text{м}^3 \approx 0.0756 \, \text{кг} \] 3. **Вычислим массу воды**: Внутренний объем стакана будет равен: \[ V_внутрен = 0.00013273 \, \text{м}^3 \] Масса воды: \[ m_вода = p_в \cdot V_{внутрен} \approx 1000 \, \text{кг/м}^3 \cdot 0.00013273 \, \text{м}^3 \approx 0.13273 \, \text{кг} \] 4. **Используем уравнение теплового баланса**: Если T_вода = 100 °С (температура кипящей воды), а T_Al = 20 °С, тогда при установившемся состоянии: \[ m_вода \cdot c_в \cdot (T_{u} - T_{вода}) + m_Al \cdot c_a \cdot (T_{u} - T_{Al}) = 0 \] Здесь \( T_u \) — установившаяся температура. 5. Подставляя значения, получаем: \[ 0.13273 \cdot 4200 \cdot (T_{u} - 100) + 0.0756 \cdot 920 \cdot (T_{u} - 20) = 0 \] Затем подставляем известные значения: \[ 556.926 \cdot (T_{u} - 100) + 69.152 \cdot (T_{u} - 20) = 0 \] Раскроем скобки: \[ 556.926T_{u} - 55692.6 + 69.152T_{u} - 1383.04 = 0 \] Сложим похожие слагаемые: \[ 626.078T_{u} - 57075.64 = 0 \] Теперь разрешим уравнение относительно \( T_u \): \[ T_{u} = \frac{57075.64}{626.078} \approx 91.1 °C \] Таким образом, установившаяся температура стакана составит примерно **91.1 °C**.