Для решения этой задачи используем следующее:
Пусть катеты прямоугольного треугольника обозначим как ( a ) и ( b ). У нас есть две основные информации:
- Сумма катетов равна 23 см:
[
a + b = 23 \quad (1)
]
- Площадь треугольника равна 60 см²:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 60 \quad (2)
]
Теперь можем выразить ( b ) из уравнения (1):
[
b = 23 - a \quad (3)
]
После этого подставим (3) в уравнение (2):
[
\frac{1}{2} \cdot a \cdot (23 - a) = 60
]
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
a \cdot (23 - a) = 120
]
Раскроем скобки:
[
23a - a^2 = 120
]
Перепишем уравнение так, чтобы оно имело стандартный вид:
[
a^2 - 23a + 120 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49
]
Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня. Найдем их с помощью формулы:
[
a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{23 \pm 7}{2}
]
Теперь вычислим корни:
- ( a_1 = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 )
- ( a_2 = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 )
Теперь, подставив найденные значения катета ( a ) в (3), найдем значения ( b ):
Если ( a = 15 ), то:
[
b = 23 - 15 = 8
]
Если ( a = 8 ), то:
[
b = 23 - 8 = 15
]
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 8 см.
В итоге, ваши катеты:
- ( a = 15 ) см
- ( b = 8 ) см
Эти значения удовлетворяют заданным условиям задачи: их сумма равна 23 см, а площадь равна 60 см².
