найдите катеты прямоугольного треугольника,если известно что их сумма 23см,а площадь треугольника равна 60см²
Для решения этой задачи используем следующее:
Пусть катеты прямоугольного треугольника обозначим как \( a \) и \( b \). У нас есть две основные информации:
- Сумма катетов равна 23 см: \[ a + b = 23 \quad (1) \]
- Площадь треугольника равна 60 см²: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 60 \quad (2) \]
Теперь можем выразить \( b \) из уравнения (1): \[ b = 23 - a \quad (3) \]
После этого подставим (3) в уравнение (2): \[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot (23 - a) = 60 \]
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ a \cdot (23 - a) = 120 \]
Раскроем скобки: \[ 23a - a^2 = 120 \]
Перепишем уравнение так, чтобы оно имело стандартный вид: \[ a^2 - 23a + 120 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49 \]
Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня. Найдем их с помощью формулы: \[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{23 \pm 7}{2} \]
Теперь вычислим корни:
- \( a_1 = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)
- \( a_2 = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
Теперь, подставив найденные значения катета \( a \) в (3), найдем значения \( b \):
Если \( a = 15 \), то: \[ b = 23 - 15 = 8 \]
Если \( a = 8 \), то: \[ b = 23 - 8 = 15 \]
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 8 см.
В итоге, ваши катеты:
- \( a = 15 \) см
- \( b = 8 \) см
Эти значения удовлетворяют заданным условиям задачи: их сумма равна 23 см, а площадь равна 60 см².
