X+3y-z=8 2x-y+4z=-1 -2x+2y+z=4
Для решения данной системы уравнений используем метод подстановки или метод Гаусса. Рассмотрим шаги для метода Гаусса:
Даны уравнения:
- \( x + 3y - z = 8 \)
- \( 2x - y + 4z = -1 \)
- \( -2x + 2y + z = 4 \)
Шаг 1: Приведение к треугольному виду.
Начнем с первого и второго уравнений, чтобы выразить \( x \).
Первое уравнение остается без изменений: \[ x + 3y - z = 8 \]
Второе уравнение можно умножить на 1 и сложить с третьим, чтобы исключить \( x \): \[ 2x - y + 4z = -1 \\ -2x + 2y + z = 4 \\ \hline y + 5z = 3 \]
Теперь система выглядит так:
- \( x + 3y - z = 8 \)
- \( y + 5z = 3 \)
Шаг 2: Подстановка и решение.
Из второго уравнения выразим \( y \):
\[ y = 3 - 5z \]
Подставим это в первое уравнение:
\[ x + 3(3 - 5z) - z = 8 \]
Упростим:
\[ x + 9 - 15z - z = 8 \]
\[ x - 16z = -1 \]
Таким образом выражаем \( x \):
\[ x = 16z - 1 \]
Теперь у нас есть:
- \( x = 16z - 1 \)
- \( y = 3 - 5z \)
Подставим это в любое исходное уравнение для проверки и нахождения \( z \). Возьмем третье уравнение:
\[ -2x + 2y + z = 4 \]
Подставим значения \( x \) и \( y \):
\[ -2(16z - 1) + 2(3 - 5z) + z = 4 \]
\[ -32z + 2 + 6 - 10z + z = 4 \]
Упростим:
\[ -41z + 8 = 4 \]
\[ -41z = -4 \]
\[ z = \frac{4}{41} \]
Теперь, подставив \( z = \frac{4}{41} \), найдем \( x \) и \( y \):
\[ x = 16\left(\frac{4}{41}\right) - 1 = \frac{64}{41} - 1 = \frac{23}{41} \]
\[ y = 3 - 5\left(\frac{4}{41}\right) = 3 - \frac{20}{41} = \frac{103}{41} \]
Таким образом, решение системы:
- \( x = \frac{23}{41} \)
- \( y = \frac{103}{41} \)
- \( z = \frac{4}{41} \)
