X+3y-z=8 2x-y+4z=-1 -2x+2y+z=4

Для решения данной системы уравнений используем метод подстановки или метод Гаусса. Рассмотрим шаги для метода Гаусса: Даны уравнения: 1. \( x + 3y - z = 8 \) 2. \( 2x - y + 4z = -1 \) 3. \( -2x + 2y + z = 4 \) **Шаг 1: Приведение к треугольному виду.** Начнем с первого и второго уравнений, чтобы выразить \( x \). 1. Первое уравнение остается без изменений: \[ x + 3y - z = 8 \] 2. Второе уравнение можно умножить на 1 и сложить с третьим, чтобы исключить \( x \): \[ 2x - y + 4z = -1 \\ -2x + 2y + z = 4 \\ \hline y + 5z = 3 \] Теперь система выглядит так: 1. \( x + 3y - z = 8 \) 2. \( y + 5z = 3 \) **Шаг 2: Подстановка и решение.** Из второго уравнения выразим \( y \): \[ y = 3 - 5z \] Подставим это в первое уравнение: \[ x + 3(3 - 5z) - z = 8 \] Упростим: \[ x + 9 - 15z - z = 8 \] \[ x - 16z = -1 \] Таким образом выражаем \( x \): \[ x = 16z - 1 \] Теперь у нас есть: - \( x = 16z - 1 \) - \( y = 3 - 5z \) Подставим это в любое исходное уравнение для проверки и нахождения \( z \). Возьмем третье уравнение: \[ -2x + 2y + z = 4 \] Подставим значения \( x \) и \( y \): \[ -2(16z - 1) + 2(3 - 5z) + z = 4 \] \[ -32z + 2 + 6 - 10z + z = 4 \] Упростим: \[ -41z + 8 = 4 \] \[ -41z = -4 \] \[ z = \frac{4}{41} \] Теперь, подставив \( z = \frac{4}{41} \), найдем \( x \) и \( y \): \[ x = 16\left(\frac{4}{41}\right) - 1 = \frac{64}{41} - 1 = \frac{23}{41} \] \[ y = 3 - 5\left(\frac{4}{41}\right) = 3 - \frac{20}{41} = \frac{103}{41} \] Таким образом, решение системы: - \( x = \frac{23}{41} \) - \( y = \frac{103}{41} \) - \( z = \frac{4}{41} \)