Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что В1D1 параллельна АВС

Давайте разберем задачу по шагам и докажем, что отрезок \(B_1D_1\) параллелен плоскости \(ABC\) (которая является основанием данного прямоугольного параллелепипеда).

Шаг 1: Определение элементов

1. Прямоугольный параллелепипед — это трехмерная фигура, состоящая из 6 прямоугольников, где противоположные грани равны и параллельны друг другу.
2. Обозначим точки:
   • \(A(0, 0, 0)\) — одна из вершин основание параллелепипеда.
   • \(B(a, 0, 0)\) — вершина, смещенная по оси x от A.
   • \(C(a, b, 0)\) — вершина, смещенная по oси y от B.
   • \(D(0, b, 0)\) — вершина, смещенная по оси y от A.
   • \(A_1(0, 0, h)\) — вершина, смещенная по оси z от A.
   • \(B_1(a, 0, h)\) — вершина, смещенная по оси z от B.
   • \(C_1(a, b, h)\) — вершина, смещенная по оси z от C.
   • \(D_1(0, b, h)\) — вершина, смещенная по оси z от D.

Где \(a, b, h\) — положительные числа, определяющие размеры параллелепипеда.

Шаг 2: Установление направлений

Теперь определим направление отрезка \(B_1D_1\) и направлений плоскости \(ABC\):

• Вектор \(B_1D_1\): \[ B_1D_1 = D_1 - B_1 = (0, b, h) - (a, 0, h) = (-a, b, 0) \] Этот вектор показывает, что отрезок направлен из \(B_1\) в \(D_1\) по плоскости \(z = h\).

• Плоскость \(ABC\) определяется векторами \(AB\) и \(AC\): \[ AB = B - A = (a, 0, 0) - (0, 0, 0) = (a, 0, 0) \] \[ AC = C - A = (a, b, 0) - (0, 0, 0) = (a, b, 0) \]

Шаг 3: Проверка параллельности

Чтобы показать, что \(B_1D_1\) параллелен плоскости \(ABC\), надо доказать, что вектор \(B_1D_1\) лежит в этой плоскости.

Для этого вычислим нормальный вектор к плоскости \(ABC\):

1. Нормальный вектор \(N\) к плоскости, определяемый векторами \(AB\) и \(AC\): \[ N = AB \times AC = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & b & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - 0 \cdot b)\hat{i} - (0 \cdot 0 - 0 \cdot a)\hat{j} + (ab - 0)\hat{k} = (0, 0, ab) \]

Нормальный вектор к плоскости \(ABC\) имеет вид \(N = (0, 0, ab)\), что означает, что векторы \(AB\) и \(AC\) лежат в плоскости \(z = 0\).

Поскольку наш отрезок \(B_1D_1\) имеет координату \(z\) равную \(h\) (где \(h > 0\)), он не может быть перпендикулярным к нормали \(N\): он не изменяет значения по \(z\) и уровень параллелен плоскости \(ABC\) на уровне \(z = 0\).

Заключение

Таким образом, мы показываем, что отрезок \(B_1D_1\) параллелен плоскости \(ABC\), так как он лежит в параллельной плоскости, находящейся на расстоянии от основания (по оси z).

Это и доказывает, что отрезок \(B_1D_1\) равномерно распределен относительно плоскости \(ABC\) и является параллельным ей.