Геометрия 9 класс

Давайте разберём задачи одну за другой. ### Задача 4 **Условие:** Стороны параллелограмма равны 4 см и 6 см. Острый его угол равен 60°. Найдите большую диагональ параллелограмма. **Решение:** Чтобы найти большую диагональ параллелограмма, можно использовать формулу: \[ d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)} \] где \( a = 4 \, \text{см} \), \( b = 6 \, \text{см} \), \( \theta = 60^\circ \). 1. Подстановка значений: \[ d_1 = \sqrt{4^2 + 6^2 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos(60^\circ)} \] 2. Вычисление: \[ \cos(60^\circ) = 0.5 \] 3. Продолжение: \[ d_1 = \sqrt{16 + 36 - 48 \times 0.5} = \sqrt{52 - 24} = \sqrt{28} \] 4. Итоговое значение: \[ d_1 = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \approx 5.3 \, \text{см} \] ### Задача 5 **Условие:** Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 5 см, BC = 10 см, AC = 11 см. **Решение:** Используем формулу Герона. Сначала найдём полупериметр \( s \): \[ s = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{5 + 10 + 11}{2} = 13 \] Теперь найдём площадь \( S \): \[ S = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - AC)} \] Подстановка: \[ S = \sqrt{13(13 - 5)(13 - 10)(13 - 11)} \] \[ S = \sqrt{13 \times 8 \times 3 \times 2} \] \[ S = \sqrt{624} \approx 24.97 \, \text{кв. см} \] ### Задача 6 **Условие:** Сторона треугольника равна 14 см, а две другие образуют угол 60° и пропорциональны числам 3 и 5. Найдите большую сторону треугольника. **Решение:** Обозначим стороны как \( 3x \) и \( 5x \). Тогда по теореме косинусов: \[ 14^2 = (3x)^2 + (5x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 5x \cdot \cos(60^\circ) \] \[ 196 = 9x^2 + 25x^2 - 15x^2 \cdot 0.5 \] \[ 196 = 34x^2 - 7.5x^2 \] \[ 196 = 26.5x^2 \] \[ x^2 = \frac{196}{26.5} \approx 7.396 \] \[ x \approx \sqrt{7.396} \approx 2.72 \] Находим большую сторону: \[ 5x = 5 \times 2.72 \approx 13.6 \, \text{см} \] Таким образом, большой стороной будет 14 см. ### Задача 7 **Условие:** Диагонали параллелограмма равны 8 см и 6 см, а косинус угла между ними равен 0.25. Найдите меньшую сторону параллелограмма. **Решение:** Пусть диагонали \( d_1 = 8 \) см и \( d_2 = 6 \) см. Тогда по формуле для стороны параллелограмма: \[ 2a^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2d_1 d_2 \cos(\theta) \] 1. Подставляем значения: \[ 2a^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \times 0.25 \] 2. Вычисления: \[ 2a^2 = 64 + 36 - 24 \] 3. Продолжение: \[ 2a^2 = 76 \] 4. Находим \( a \): \[ a^2 = 38 \] \[ a = \sqrt{38} \approx 6.16 \, \text{см} \] Следовательно, меньшая сторона параллелограмма приблизительно равна 6.16 см.