геометрия 9 класс
Давайте разберём задачи одну за другой.
Задача 4
Условие: Стороны параллелограмма равны 4 см и 6 см. Острый его угол равен 60°. Найдите большую диагональ параллелограмма.
Решение:
Чтобы найти большую диагональ параллелограмма, можно использовать формулу:
\[ d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)} \]
где \( a = 4 \, \text{см} \), \( b = 6 \, \text{см} \), \( \theta = 60^\circ \).
Подстановка значений: \[ d_1 = \sqrt{4^2 + 6^2 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos(60^\circ)} \]
Вычисление: \[ \cos(60^\circ) = 0.5 \]
Продолжение: \[ d_1 = \sqrt{16 + 36 - 48 \times 0.5} = \sqrt{52 - 24} = \sqrt{28} \]
Итоговое значение: \[ d_1 = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \approx 5.3 \, \text{см} \]
Задача 5
Условие: Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 5 см, BC = 10 см, AC = 11 см.
Решение:
Используем формулу Герона. Сначала найдём полупериметр \( s \):
\[ s = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{5 + 10 + 11}{2} = 13 \]
Теперь найдём площадь \( S \):
\[ S = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - AC)} \]
Подстановка:
\[ S = \sqrt{13(13 - 5)(13 - 10)(13 - 11)} \]
\[ S = \sqrt{13 \times 8 \times 3 \times 2} \]
\[ S = \sqrt{624} \approx 24.97 \, \text{кв. см} \]
Задача 6
Условие: Сторона треугольника равна 14 см, а две другие образуют угол 60° и пропорциональны числам 3 и 5. Найдите большую сторону треугольника.
Решение:
Обозначим стороны как \( 3x \) и \( 5x \). Тогда по теореме косинусов:
\[ 14^2 = (3x)^2 + (5x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 5x \cdot \cos(60^\circ) \]
\[ 196 = 9x^2 + 25x^2 - 15x^2 \cdot 0.5 \]
\[ 196 = 34x^2 - 7.5x^2 \]
\[ 196 = 26.5x^2 \]
\[ x^2 = \frac{196}{26.5} \approx 7.396 \]
\[ x \approx \sqrt{7.396} \approx 2.72 \]
Находим большую сторону:
\[ 5x = 5 \times 2.72 \approx 13.6 \, \text{см} \]
Таким образом, большой стороной будет 14 см.
Задача 7
Условие: Диагонали параллелограмма равны 8 см и 6 см, а косинус угла между ними равен 0.25. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
Решение:
Пусть диагонали \( d_1 = 8 \) см и \( d_2 = 6 \) см. Тогда по формуле для стороны параллелограмма:
\[ 2a^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2d_1 d_2 \cos(\theta) \]
Подставляем значения: \[ 2a^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \times 0.25 \]
Вычисления: \[ 2a^2 = 64 + 36 - 24 \]
Продолжение: \[ 2a^2 = 76 \]
Находим \( a \): \[ a^2 = 38 \] \[ a = \sqrt{38} \approx 6.16 \, \text{см} \]
Следовательно, меньшая сторона параллелограмма приблизительно равна 6.16 см.
