В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведена к медиану BM . Найдите AC и BC ,если известно , что BM =7, а угол C равен 60 градусов

Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине B. Мы знаем, что: - Медiana \( BM = 7 \) - Угол \( C = 60^\circ \) Мы можем использовать свойства медианы в прямоугольном треугольнике и тригонометрию. 1. **Находим первую координату треугольника:** Так как треугольник ABC — прямоугольный, можем определить стороны. Обозначим: - \( AB = c \) (легкая сторона), - \( BC = a \) (высокая сторона), - \( AC = b \) (гипотенуза). 2. **Используем свойства медианы:** В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы, разделённой на \( \sqrt{2} \). Поскольку у нас есть угол \( C \), то \( \angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \). 3. **Запишем соотношения:** В нашем случае, поскольку \( C = 60^\circ \), мы можем использовать синусы и косинусы: \[ \frac{AC}{2} = BM \] Для прямоугольного треугольника свойство медианы: \[ BM^2 = \frac{AB^2 + BC^2}{2} - \frac{AC^2}{4} \] 4. **Вычисляем стороны:** Используем тригонометрические соотношения: - \( AB = AC \cdot \sin 60^\circ = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( BC = AC \cdot \cos 60^\circ = b \cdot \frac{1}{2} \) Подставим эти варианты в уравнение медианы: \[ 7^2 = \frac{(b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (b \cdot \frac{1}{2})^2}{2} - \frac{b^2}{4} \] Упрощаем уравнение: \[ 49 = \frac{\frac{3b^2}{4} + \frac{b^2}{4}}{2} - \frac{b^2}{4} \] Это приведет к: \[ 49 = \frac{4b^2}{8} - \frac{b^2}{4} = \frac{b^2}{2} - \frac{b^2}{4} = \frac{2b^2}{4} = \frac{b^2}{2} \] Тогда: \[ b^2 = 98 \implies b = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \] 5. **Найдём стороны \( AC \) и \( BC \):** - \( AC = 7\sqrt{2} \) - \( BC = \frac{7\sqrt{2}}{2} \) Теперь у нас есть значения: - \( AC = 7\sqrt{2} \) - \( BC = \frac{7\sqrt{2}}{2} \) Всё это предоставляет полный ответ на искомые стороны треугольника с данными параметрами.