в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведена медиана BM.Найдите AC и BC,если известно,что BM=7,а угол C равен 60 градусов.

Давайте разберем задачу по шагам. У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 90 градусов, и медиана BM, проведенная из вершины B на сторону AC. Условия задачи таковы:

• BM = 7 (длина медианы)
• угол C = 60 градусов

Мы будем использовать свойства медианы и треугольников для нахождения неизвестных сторон AC и BC.

Шаг 1: Определить стороны треугольника

В прямоугольном треугольнике угол C равен 60 градусов. Это означает, что угол A должен равняться 30 градусов, так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \implies \angle A + 90^\circ + 60^\circ = 180^\circ \implies \angle A = 30^\circ \]

Теперь у нас есть треугольник ABC с углами 30°, 60° и 90°. В таких треугольниках стороны имеют фиксированные соотношения:

• Противолежащая сторона к углу 30° (BC) равна половине гипотенузы (AC).
• Противолежащая сторона к углу 60° (AB) равна \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) от гипотенузы.

Шаг 2: Используем свойства медианы

Длина медианы BM в прямоугольном треугольнике (из вершины прямого угла к гипотенузе) вычисляется по формуле:

\[ BM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2} \]

Так как мы знаем, что угол C равен 60 градусов и у нас есть соотношения между сторонами, можно выразить стороны через одну длину.

Шаг 3: Обозначим стороны

Обозначим:

• AC (гипотенуза) = c
• BC (противолежащая сторона углу C) = a
• AB (противолежащая сторона углу A) = b

По соотношениям 30-60-90 треугольника:

• \( a = \frac{c}{2} \)
• \( b = \frac{\sqrt{3}}{2}c \)

Подставляем в формулу медианы:

\[ 7 = \frac{1}{2} \sqrt{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}c\right)^2 + 2\left(\frac{c}{2}\right)^2 - c^2} \]

Преобразуем:

1. \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}c\right)^2 = \frac{3}{4}c^2 \)
2. \( \left(\frac{c}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}c^2 \)

Подставляем:

\[ 7 = \frac{1}{2} \sqrt{2\left(\frac{3}{4}c^2\right) + 2\left(\frac{1}{4}c^2\right) - c^2} \]

Упрощаем:

\[ 7 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}c^2 + \frac{1}{2}c^2 - c^2} \] \[ 7 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{2}c^2} = \frac{1}{2} \sqrt{c^2} = \frac{1}{2}c \]

Шаг 4: Находим c

Умножаем обе стороны на 2:

\[ c = 14 \]

Теперь находим стороны BC и AB:

\[ BC = a = \frac{c}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

\[ AB = b = \frac{\sqrt{3}}{2} c = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 14 = 7\sqrt{3} \]

Ответ

• Длина AC (гипотенуза) = 14
• Длина BC = 7

Таким образом, мы нашли искомые длины сторон треугольника ABC.