В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведена медиана BM.Найдите AC и BC,если известно,что BM=7,а угол C равен 60 градусов.

Давайте разберем задачу по шагам. У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 90 градусов, и медиана BM, проведенная из вершины B на сторону AC. Условия задачи таковы: - BM = 7 (длина медианы) - угол C = 60 градусов Мы будем использовать свойства медианы и треугольников для нахождения неизвестных сторон AC и BC. ### Шаг 1: Определить стороны треугольника В прямоугольном треугольнике угол C равен 60 градусов. Это означает, что угол A должен равняться 30 градусов, так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \implies \angle A + 90^\circ + 60^\circ = 180^\circ \implies \angle A = 30^\circ \] Теперь у нас есть треугольник ABC с углами 30°, 60° и 90°. В таких треугольниках стороны имеют фиксированные соотношения: - Противолежащая сторона к углу 30° (BC) равна половине гипотенузы (AC). - Противолежащая сторона к углу 60° (AB) равна \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) от гипотенузы. ### Шаг 2: Используем свойства медианы Длина медианы BM в прямоугольном треугольнике (из вершины прямого угла к гипотенузе) вычисляется по формуле: \[ BM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2} \] Так как мы знаем, что угол C равен 60 градусов и у нас есть соотношения между сторонами, можно выразить стороны через одну длину. ### Шаг 3: Обозначим стороны Обозначим: - AC (гипотенуза) = c - BC (противолежащая сторона углу C) = a - AB (противолежащая сторона углу A) = b По соотношениям 30-60-90 треугольника: - \( a = \frac{c}{2} \) - \( b = \frac{\sqrt{3}}{2}c \) Подставляем в формулу медианы: \[ 7 = \frac{1}{2} \sqrt{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}c\right)^2 + 2\left(\frac{c}{2}\right)^2 - c^2} \] Преобразуем: 1. \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}c\right)^2 = \frac{3}{4}c^2 \) 2. \( \left(\frac{c}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}c^2 \) Подставляем: \[ 7 = \frac{1}{2} \sqrt{2\left(\frac{3}{4}c^2\right) + 2\left(\frac{1}{4}c^2\right) - c^2} \] Упрощаем: \[ 7 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}c^2 + \frac{1}{2}c^2 - c^2} \] \[ 7 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{2}c^2} = \frac{1}{2} \sqrt{c^2} = \frac{1}{2}c \] ### Шаг 4: Находим c Умножаем обе стороны на 2: \[ c = 14 \] Теперь находим стороны BC и AB: \[ BC = a = \frac{c}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] \[ AB = b = \frac{\sqrt{3}}{2} c = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 14 = 7\sqrt{3} \] ### Ответ - Длина AC (гипотенуза) = 14 - Длина BC = 7 Таким образом, мы нашли искомые длины сторон треугольника ABC.