Найди точку минимума функции  y = 2 x 3 − 24 x + 16 y=2x 3 −24x+16.

Для нахождения точки минимума функции \( y = 2x^3 - 24x + 16 \) необходимо выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Найдем производную функции Сначала найдем первую производную функции \( y \). Это позволит определить критические точки, где может находиться минимум или максимум. \[ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^3 - 24x + 16) \] Применяя правила дифференцирования (производная \( ax^n \) равна \( nax^{n-1} \)), мы получим: \[ y' = 6x^2 - 24 \] ### Шаг 2: Найдем критические точки Теперь найдем значения \( x \), при которых \( y' = 0 \): \[ 6x^2 - 24 = 0 \] Решим уравнение: \[ 6x^2 = 24 \\ x^2 = 4 \\ x = \pm 2 \] Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -2 \). ### Шаг 3: Проверим, является ли точка минимумом или максимумом Чтобы определить, является ли каждая из критических точек минимумом, максимумом или точкой перегиба, мы применим вторую производную. Найдем вторую производную функции \( y \): \[ y'' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 24) = 12x \] Теперь подставим критические точки в выражение для второй производной: 1. Для \( x = 2 \): \[ y''(2) = 12 \cdot 2 = 24 > 0 \] Поскольку вторая производная положительна, это указывает на то, что в \( x = 2 \) находится локальный минимум. 2. Для \( x = -2 \): \[ y''(-2) = 12 \cdot (-2) = -24 < 0 \] Так как вторая производная отрицательна, это означает, что в \( x = -2 \) находится локальный максимум. ### Шаг 4: Найдем значение функции в точке минимума Теперь нам нужно найти значение функции в точке минимума \( x = 2 \): \[ y(2) = 2(2)^3 - 24(2) + 16 \] Рассчитаем это: \[ y(2) = 2 \cdot 8 - 48 + 16 \\ y(2) = 16 - 48 + 16 \\ y(2) = -16 \] ### Итоги Таким образом, функция \( y = 2x^3 - 24x + 16 \) имеет локальный минимум в точке \((2, -16)\). **Ответ:** Точка минимума: \((2, -16)\).