Найди точку минимума функции y = 2 x 3 − 24 x + 16 y=2x 3 −24x+16 .
Для нахождения точки минимума функции \( y = 2x^3 - 24x + 16 \) необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найдем производную функции
Сначала найдем первую производную функции \( y \). Это позволит определить критические точки, где может находиться минимум или максимум.
\[ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^3 - 24x + 16) \]
Применяя правила дифференцирования (производная \( ax^n \) равна \( nax^{n-1} \)), мы получим:
\[ y' = 6x^2 - 24 \]
Шаг 2: Найдем критические точки
Теперь найдем значения \( x \), при которых \( y' = 0 \):
\[ 6x^2 - 24 = 0 \]
Решим уравнение:
\[ 6x^2 = 24 \\ x^2 = 4 \\ x = \pm 2 \]
Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).
Шаг 3: Проверим, является ли точка минимумом или максимумом
Чтобы определить, является ли каждая из критических точек минимумом, максимумом или точкой перегиба, мы применим вторую производную.
Найдем вторую производную функции \( y \):
\[ y'' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 24) = 12x \]
Теперь подставим критические точки в выражение для второй производной:
Для \( x = 2 \): \[ y''(2) = 12 \cdot 2 = 24 > 0 \] Поскольку вторая производная положительна, это указывает на то, что в \( x = 2 \) находится локальный минимум.
Для \( x = -2 \): \[ y''(-2) = 12 \cdot (-2) = -24 < 0 \] Так как вторая производная отрицательна, это означает, что в \( x = -2 \) находится локальный максимум.
Шаг 4: Найдем значение функции в точке минимума
Теперь нам нужно найти значение функции в точке минимума \( x = 2 \):
\[ y(2) = 2(2)^3 - 24(2) + 16 \]
Рассчитаем это:
\[ y(2) = 2 \cdot 8 - 48 + 16 \\ y(2) = 16 - 48 + 16 \\ y(2) = -16 \]
Итоги
Таким образом, функция \( y = 2x^3 - 24x + 16 \) имеет локальный минимум в точке \((2, -16)\).
Ответ: Точка минимума: \((2, -16)\).
