Давайте решим задачу о прямоугольном треугольнике с заданными условиями.
Дано:
- Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 31 см.
- Гипотенуза равна 25 см.
Обозначим:
- Длина одного катета — ( a ) см.
- Длина другого катета — ( b ) см.
На основе условия задачи, можем записать следующие уравнения:
- Сумма катетов:
[
a + b = 31
]
- Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
Где ( c ) — это гипотенуза, в данном случае ( c = 25 ) см, тогда:
[
a^2 + b^2 = 25^2 = 625
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( a + b = 31 )
- ( a^2 + b^2 = 625 )
Шаг 1: Выразим один катет через другой
Из первого уравнения можно выразить ( b ):
[
b = 31 - a
]
Шаг 2: Подставим значение ( b ) во второе уравнение
Теперь подставим ( b ) во второе уравнение:
[
a^2 + (31 - a)^2 = 625
]
Раскроем скобки:
[
a^2 + (31^2 - 62a + a^2) = 625
]
[
a^2 + 961 - 62a + a^2 = 625
]
Соберем подобные члены:
[
2a^2 - 62a + 961 - 625 = 0
]
[
2a^2 - 62a + 336 = 0
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Разделим все члены на 2:
[
a^2 - 31a + 168 = 0
]
Шаг 4: Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта
Посчитаем дискриминант:
[
D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 168 = 961 - 672 = 289
]
Теперь находим корни:
[
a = \frac{31 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1}
]
[
a = \frac{31 \pm 17}{2}
]
Корни:
- ( a = \frac{48}{2} = 24 )
- ( a = \frac{14}{2} = 7 )
Шаг 5: Найдем ( b )
Теперь, используя ( a + b = 31 ), находим ( b ):
- Если ( a = 24 ), то ( b = 31 - 24 = 7 ).
- Если ( a = 7 ), то ( b = 31 - 7 = 24 ).
Таким образом, длины катетов: ( a = 24 ) см и ( b = 7 ) см.
Шаг 6: Найдем площадь треугольника
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
Подставляем значения катетов:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 7 = \frac{168}{2} = 84 , \text{см}^2
]
Ответ
Площадь треугольника равна ( 84 , \text{см}^2 ).
