Составь математическую модель по словесной: сумма катетов прямоугольного треугольника равна 31 см, а его гипотенуза равна 25 см. Вычисли площадь треугольника. Выбери подходящую…

Давайте решим задачу о прямоугольном треугольнике с заданными условиями.

Дано:

1. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 31 см.
2. Гипотенуза равна 25 см.

Обозначим:

• Длина одного катета — \( a \) см.
• Длина другого катета — \( b \) см.

На основе условия задачи, можем записать следующие уравнения:

1. Сумма катетов:
   \[ a + b = 31 \]
2. Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника:
   \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Где \( c \) — это гипотенуза, в данном случае \( c = 25 \) см, тогда: \[ a^2 + b^2 = 25^2 = 625 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a + b = 31 \)
2. \( a^2 + b^2 = 625 \)

Шаг 1: Выразим один катет через другой

Из первого уравнения можно выразить \( b \): \[ b = 31 - a \]

Шаг 2: Подставим значение \( b \) во второе уравнение

Теперь подставим \( b \) во второе уравнение: \[ a^2 + (31 - a)^2 = 625 \]

Раскроем скобки: \[ a^2 + (31^2 - 62a + a^2) = 625 \] \[ a^2 + 961 - 62a + a^2 = 625 \]

Соберем подобные члены: \[ 2a^2 - 62a + 961 - 625 = 0 \] \[ 2a^2 - 62a + 336 = 0 \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Разделим все члены на 2: \[ a^2 - 31a + 168 = 0 \]

Шаг 4: Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта

Посчитаем дискриминант: \[ D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 168 = 961 - 672 = 289 \]

Теперь находим корни: \[ a = \frac{31 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} \] \[ a = \frac{31 \pm 17}{2} \]

Корни:

1. \( a = \frac{48}{2} = 24 \)
2. \( a = \frac{14}{2} = 7 \)

Шаг 5: Найдем \( b \)

Теперь, используя \( a + b = 31 \), находим \( b \):

1. Если \( a = 24 \), то \( b = 31 - 24 = 7 \).
2. Если \( a = 7 \), то \( b = 31 - 7 = 24 \).

Таким образом, длины катетов: \( a = 24 \) см и \( b = 7 \) см.

Шаг 6: Найдем площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Подставляем значения катетов: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 7 = \frac{168}{2} = 84 \, \text{см}^2 \]

Ответ

Площадь треугольника равна \( 84 \, \text{см}^2 \).