Пусть скорость течения реки равна ( v ) км/ч.
Скорость катера по течению реки равна ( 14 + v ) км/ч, а против течения — ( 14 - v ) км/ч.
Обозначим время, затраченное на путь по течению, как ( t_1 ), а время, затраченное на путь против течения, как ( t_2 ).
По формуле ( t = \frac{s}{v} ), имеем:
Время по течению:
[
t_1 = \frac{40}{14 + v}
]
Время против течения:
[
t_2 = \frac{6}{14 - v}
]
Из условия задачи, общее время пути составляет 3 часа:
[
t_1 + t_2 = 3
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{40}{14 + v} + \frac{6}{14 - v} = 3
]
Теперь нужно решить это уравнение. Умножим обе стороны на общее произведение знаменателей:
[
(40)(14 - v) + (6)(14 + v) = 3(14 + v)(14 - v)
]
Раскроем скобки:
[
560 - 40v + 84 + 6v = 3(196 - v^2)
]
[
644 - 34v = 588 - 3v^2
]
Переносим все в одну сторону:
[
3v^2 - 34v + 644 - 588 = 0
]
[
3v^2 - 34v + 56 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-34)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56
]
[
D = 1156 - 672 = 484
]
Теперь находим корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{34 \pm \sqrt{484}}{6}
]
[
\sqrt{484} = 22
]
[
v_1 = \frac{34 + 22}{6} = \frac{56}{6} \approx 9.33 \text{ км/ч}
]
[
v_2 = \frac{34 - 22}{6} = \frac{12}{6} = 2 \text{ км/ч}
]
Таким образом, скорость течения реки ( v ) может быть либо ( 9.33 ) км/ч, либо ( 2 ) км/ч. Однако, учитывая, что скорость течения должна быть меньше скорости катера в стоячей воде, мы принимаем решение, что скорость течения реки равна ( 2 ) км/ч.
