решите графически систему уравнения
Чтобы решить систему уравнений графически, нужно построить графики каждого уравнения и найти их точку пересечения. Задача состоит из следующих уравнений:
- \( 2x + 3y = 6 \)
- \( 2x + y = 1 \)
Шаг 1: Перепишем уравнения в виде \( y = mx + b \)
Для первого уравнения \( 2x + 3y = 6 \):
- Выразим \( y \): \[ 3y = -2x + 6 \] \[ y = -\frac{2}{3}x + 2 \]
Для второго уравнения \( 2x + y = 1 \):
- Выразим \( y \): \[ y = -2x + 1 \]
Шаг 2: Построим графики уравнений
График первого уравнения: \( y = -\frac{2}{3}x + 2 \)
- Точка пересечения с осью \( y \): (0, 2).
- Ещё одна точка: Подставим \( x = 3 \): \[ y = -\frac{2}{3}(3) + 2 = -2 + 2 = 0 \Rightarrow (3, 0) \]
График второго уравнения: \( y = -2x + 1 \)
- Точка пересечения с осью \( y \): (0, 1).
- Ещё одна точка: Подставим \( x = 1 \): \[ y = -2(1) + 1 = -2 + 1 = -1 \Rightarrow (1, -1) \]
Шаг 3: Найдем точку пересечения
Построив эти два уравнения на координатной плоскости, найдем точку, где они пересекаются. Это будет решение системы.
Шаг 4: Решение системы уравнений
Вычислим точку пересечения алгебраически:
\[ -\frac{2}{3}x + 2 = -2x + 1 \]
Приведем к общему виду:
\[ -\frac{2}{3}x + 2 = -2x + 1 \]
Умножим всё уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби:
\[ -2x + 6 = -6x + 3 \]
Перенесем все члены, содержащие \( x \), в одну сторону:
\[ 4x = 3 \]
Решаем для \( x \):
\[ x = \frac{3}{4} \]
Подставим значение \( x \) в любое из исходных уравнений, например, во второе:
\[ 2\left(\frac{3}{4}\right) + y = 1 \]
\[ \frac{3}{2} + y = 1 \]
\[ y = 1 - \frac{3}{2} \]
\[ y = -\frac{1}{2} \]
Итак, точка пересечения, которая является решением системы, будет \( \left( \frac{3}{4}, -\frac{1}{2} \right) \).
Теперь у вас есть как графическое, так и алгебраическое решение задачи.
