Найдите сумму
Чтобы найти сумму выражений, давайте сначала упростим каждый из них, а затем сложим результаты.
Каждое выражение имеет вид \(\left(n + \frac{1}{2^m}\right)^2\).
Упростим каждое выражение:
\[ \left(2 + \frac{1}{4}\right)^2 = \left(\frac{8}{4} + \frac{1}{4}\right)^2 = \left(\frac{9}{4}\right)^2 = \frac{81}{16} \]
\[ \left(4 + \frac{1}{8}\right)^2 = \left(\frac{32}{8} + \frac{1}{8}\right)^2 = \left(\frac{33}{8}\right)^2 = \frac{1089}{64} \]
\[ \left(8 + \frac{1}{16}\right)^2 = \left(\frac{128}{16} + \frac{1}{16}\right)^2 = \left(\frac{129}{16}\right)^2 = \frac{16641}{256} \]
\[ \left(16 + \frac{1}{32}\right)^2 = \left(\frac{512}{32} + \frac{1}{32}\right)^2 = \left(\frac{513}{32}\right)^2 = \frac{263169}{1024} \]
\[ \left(32 + \frac{1}{64}\right)^2 = \left(\frac{2048}{64} + \frac{1}{64}\right)^2 = \left(\frac{2049}{64}\right)^2 = \frac{4195801}{4096} \]
Приведём дроби к общему знаменателю:
Общий знаменатель для всех дробей — \(4096\).
\[ \frac{81}{16} \rightarrow \frac{81 \times 256}{4096} = \frac{20736}{4096} \]
\[ \frac{1089}{64} \rightarrow \frac{1089 \times 64}{4096} = \frac{69696}{4096} \]
\[ \frac{16641}{256} \rightarrow \frac{16641 \times 16}{4096} = \frac{266256}{4096} \]
\[ \frac{263169}{1024} \rightarrow \frac{263169 \times 4}{4096} = \frac{1052676}{4096} \]
\[ \frac{4195801}{4096} \]
Сложим полученные дроби:
\[ \frac{20736}{4096} + \frac{69696}{4096} + \frac{266256}{4096} + \frac{1052676}{4096} + \frac{4195801}{4096} = \frac{5634165}{4096} \]
Таким образом, сумма выражений равна \(\frac{5634165}{4096}\). Это дробь представляет собой итоговую сумму всех упрощенных выражений.
