построить график функций у=х2-6х+5 и определить его свойства

Давайте разберёмся с задачей по построению графика функции и определением её свойств. У нас есть функция \( y = x^2 - 6x + 5 \). Это квадратная функция, и мы можем её проанализировать подробнее.

Шаг 1: Приведение функции к стандартному виду

Начнём с упрощения функции для более удобного анализа. Для этого можно воспользоваться методом Completing the Square (вытягивание полного квадрата).

1. Выделим полный квадрат:

   \( y = x^2 - 6x + 5 \)

   Чтобы выделить полный квадрат, сначала найдём коэффициент при \( x \), делим его на 2 и возводим в квадрат: \[ \left(\frac{-6}{2}\right)^2 = 9 \]

   Теперь перепишем функцию, добавив и вычтя 9: \[ y = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 \] \[ y = (x - 3)^2 - 4 \]

Теперь функция записана в виде: \[ y = (x - 3)^2 - 4 \]

Шаг 2: Определение свойств графика функции

Теперь, когда мы записали функцию в удобном виде, можно определить основные свойства её графика.

1. Вершина параболы: Вершина параболы находится в точке \( (h, k) \), где \( h = 3 \) и \( k = -4 \). Это значит, что вершина функции находится в точке \( (3, -4) \).

2. Направление ветвей: Так как коэффициент при \( (x - 3)^2 \) равен 1 (положительный), это означает, что график открывается вверх.

3. Наличие оси симметрии: Ось симметрии проходит через вершину, т.е. это прямая \( x = 3 \).

4. Обозначим вырезы (пересечения с осями):

   • Пересечение с осью \( y \) достигается, когда \( x = 0 \): \[ y = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5 \] Таким образом, точка пересечения с осью \( y \) — \( (0, 5) \).

   • Чтобы найти пересечения с осью \( x \), решим уравнение \( y = 0 \): \[ 0 = x^2 - 6x + 5 \] Разложим на множители: \[ 0 = (x - 1)(x - 5) \] Отсюда следует, что \( x = 1 \) и \( x = 5 \). Точки пересечения с осью \( x \): \( (1, 0) \) и \( (5, 0) \).

Шаг 3: Построение графика

Теперь мы можем нарисовать график данной функции:

1. Разметьте на координатной плоскости:
   • Вершину в точке \( (3, -4) \).
   • Пересечения с осями: \( (0, 5) \), \( (1, 0) \), и \( (5, 0) \).
2. Соедините точки, чтобы получить параболу, которая открыта вверх.

Шаг 4: Итог

График функции \( y = x^2 - 6x + 5 \) — это парабола, с вершиной в точке \( (3, -4) \), пересечениями с осью \( y \) в точке \( (0, 5) \) и с осью \( x \) в точках \( (1, 0) \) и \( (5, 0) \). Парабола симметрична относительно прямой \( x = 3 \) и открыта вверх.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, дайте знать!