Ответ
Чтобы найти вероятность, что пятерка выпадет ровно четыре раза из девяти бросков игральной кости, используем формулу биномиального распределения.
Формула биномиального распределения:
\[ P(k; n, p) = C(n, k) \times p^k \times (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
- \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае, 9)
- \( k \) — количество успешных исходов (выпадение пятерки, 4 раза)
- \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (выпадение пятерки за один бросок, \( \frac{1}{6} \))
- \( 1-p \) — вероятность неудачи в одном испытании
Подставим значения:
Найдем биномиальный коэффициент \( C(9, 4) \): \[ C(9, 4) = \frac{9!}{4! \times (9-4)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 \]
Вычислим вероятность: \[ P(4; 9, \frac{1}{6}) = 126 \times \left(\frac{1}{6}\right)^4 \times \left(\frac{5}{6}\right)^5 \]
Теперь вычислим каждую часть: \[ \left(\frac{1}{6}\right)^4 = \frac{1}{1296} \]
\[ \left(\frac{5}{6}\right)^5 = \frac{3125}{7776} \]
Умножим все вместе: \[ P(4; 9, \frac{1}{6}) = 126 \times \frac{1}{1296} \times \frac{3125}{7776} \]
Вычисляем вероятности: \[ P \approx 0.0543 \]
Таким образом, вероятность того, что пятерка выпадет ровно четыре раза из девяти бросков, примерно равна 0.0543 (округлено до десятичных).
