стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Найти вероятность, что стрелку потребуется не более трёх выстрелов
Для решения этой задачи мы можем использовать модель геометрического распределения, так как мы ищем вероятность того, что первое попадание произойдет не более чем на третьем выстреле.
Обозначим вероятность попадания как \( p = 0,6 \) и вероятность промаха как \( q = 1 - p = 0,4 \).
Стрелок достигнет первого попадания на \( k \)-ом выстреле, если он промахнулся в первые \( k-1 \) выстрелов и попал в \( k \)-ом выстреле. Это можно записать как:
\[ P(X = k) = q^{k-1} \cdot p \]
Здесь \( X \) — это случайная величина, представляющая номер выстрела, на котором произошло первое попадание.
Нам нужно найти вероятность того, что стрелку потребуется не более трех выстрелов, то есть \( P(X \leq 3) \):
\[ P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \]
Теперь найдем каждую из этих вероятностей:
- \( P(X = 1) = p = 0,6 \)
- \( P(X = 2) = q \cdot p = 0,4 \cdot 0,6 = 0,24 \)
- \( P(X = 3) = q^{2} \cdot p = 0,4^{2} \cdot 0,6 = 0,16 \cdot 0,6 = 0,096 \)
Теперь сложим эти вероятности:
\[ P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,6 + 0,24 + 0,096 \]
\[ P(X \leq 3) = 0,936 \]
Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется не более трех выстрелов, равна \( 0,936 \) или \( 93,6\% \).
