{x²+y=14 x-y=8
Чтобы решить систему уравнений:
\[ \begin{cases} x^2 + y = 14 \\ x - y = 8 \end{cases} \]
мы будем использовать метод подстановки. Давайте поэтапно разберем, как это сделать.
Шаг 1: Изолируем одну переменную
Из второго уравнения \( x - y = 8 \) выразим \( y \):
\[ y = x - 8. \]
Шаг 2: Подставим выражение для \( y \) в первое уравнение
Теперь подставим \( y \) в первое уравнение \( x^2 + y = 14 \):
\[ x^2 + (x - 8) = 14. \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Упрощаем уравнение:
\[ x^2 + x - 8 = 14. \]
Переносим все члены в одну сторону:
\[ x^2 + x - 14 = 0. \]
Шаг 4: Решаем квадратное уравнение
Теперь мы можем решить квадратное уравнение \( x^2 + x - 14 = 0 \). Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}, \]
где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -14 \).
Сначала найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 1 + 56 = 57. \]
Теперь подставим дискриминант в формулу:
\[ x = \frac{{-1 \pm \sqrt{57}}}{2}. \]
Шаг 5: Находим значения \( x \)
Мы получаем два возможных значения для \( x \):
\[ x_1 = \frac{{-1 + \sqrt{57}}}{2}, \quad x_2 = \frac{{-1 - \sqrt{57}}}{2}. \]
Шаг 6: Находим соответствующие значения \( y \)
Теперь, когда мы нашли \( x \), нужно подставить его значения обратно в уравнение для \( y \):
\[ y = x - 8. \]
Для каждого из \( x \):
- Для \( x_1 = \frac{{-1 + \sqrt{57}}}{2} \):
\[ y_1 = \frac{{-1 + \sqrt{57}}}{2} - 8 = \frac{{-1 + \sqrt{57} - 16}}{2} = \frac{{\sqrt{57} - 17}}{2}. \]
- Для \( x_2 = \frac{{-1 - \sqrt{57}}}{2} \):
\[ y_2 = \frac{{-1 - \sqrt{57}}}{2} - 8 = \frac{{-1 - \sqrt{57} - 16}}{2} = \frac{{-\sqrt{57} - 17}}{2}. \]
Итог
Таким образом, система уравнений имеет два решения:
\[ \left( \frac{{-1 + \sqrt{57}}}{2}, \frac{{\sqrt{57} - 17}}{2} \right) \quad \text{и} \quad \left( \frac{{-1 - \sqrt{57}}}{2}, \frac{{-\sqrt{57} - 17}}{2} \right). \]
Если есть какие-либо вопросы или нужно больше пояснений по каждому шагу, не стесняйтесь спрашивать!
