{x²+y=14 x-y=8

Чтобы решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y = 14 \\ x - y = 8 \end{cases} \] мы будем использовать метод подстановки. Давайте поэтапно разберем, как это сделать. ### Шаг 1: Изолируем одну переменную Из второго уравнения \( x - y = 8 \) выразим \( y \): \[ y = x - 8. \] ### Шаг 2: Подставим выражение для \( y \) в первое уравнение Теперь подставим \( y \) в первое уравнение \( x^2 + y = 14 \): \[ x^2 + (x - 8) = 14. \] ### Шаг 3: Упростим уравнение Упрощаем уравнение: \[ x^2 + x - 8 = 14. \] Переносим все члены в одну сторону: \[ x^2 + x - 14 = 0. \] ### Шаг 4: Решаем квадратное уравнение Теперь мы можем решить квадратное уравнение \( x^2 + x - 14 = 0 \). Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}, \] где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -14 \). Сначала найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 1 + 56 = 57. \] Теперь подставим дискриминант в формулу: \[ x = \frac{{-1 \pm \sqrt{57}}}{2}. \] ### Шаг 5: Находим значения \( x \) Мы получаем два возможных значения для \( x \): \[ x_1 = \frac{{-1 + \sqrt{57}}}{2}, \quad x_2 = \frac{{-1 - \sqrt{57}}}{2}. \] ### Шаг 6: Находим соответствующие значения \( y \) Теперь, когда мы нашли \( x \), нужно подставить его значения обратно в уравнение для \( y \): \[ y = x - 8. \] Для каждого из \( x \): 1. Для \( x_1 = \frac{{-1 + \sqrt{57}}}{2} \): \[ y_1 = \frac{{-1 + \sqrt{57}}}{2} - 8 = \frac{{-1 + \sqrt{57} - 16}}{2} = \frac{{\sqrt{57} - 17}}{2}. \] 2. Для \( x_2 = \frac{{-1 - \sqrt{57}}}{2} \): \[ y_2 = \frac{{-1 - \sqrt{57}}}{2} - 8 = \frac{{-1 - \sqrt{57} - 16}}{2} = \frac{{-\sqrt{57} - 17}}{2}. \] ### Итог Таким образом, система уравнений имеет два решения: \[ \left( \frac{{-1 + \sqrt{57}}}{2}, \frac{{\sqrt{57} - 17}}{2} \right) \quad \text{и} \quad \left( \frac{{-1 - \sqrt{57}}}{2}, \frac{{-\sqrt{57} - 17}}{2} \right). \] Если есть какие-либо вопросы или нужно больше пояснений по каждому шагу, не стесняйтесь спрашивать!