Найдите первообразную функции (х), график которой проходит через точку А: 1)/(x)-sin 2x. A(3:2); 2)/(x), A(4; 6); 3)/(x)-A(In 2:): 4) f(x) - sinx-cos x, A:1); 5) \# f(x) = x ^ 2 -…
Найдите первообразную функции (х), график которой проходит через точку А: 1)/(x)-sin 2x. A(3:2); 2)/(x), A(4; 6); 3)/(x)-A(In 2:): 4) f(x) - sinx-cos x, A:1); 5) \# f(x) = x ^ 2 - 3/x ,A(-1;4); 6)f(x)-34-1)
Давайте решим каждую из представленных задач по нахождению первообразной функции, которая проходит через указанную точку. Мы будем обозначать первообразную функции f(x) как F(x).
1. \( f(x) = \frac{1}{x} - \sin(2x) \), \( A(3; 2) \)
Шаг 1: Найдем первообразную
Для функции \( f(x) = \frac{1}{x} - \sin(2x) \) найдем первообразную:
\[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int \left( \frac{1}{x} - \sin(2x) \right) dx \]
Используем известные формулы:
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \]
\[ \int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \]
Тогда:
\[ F(x) = \ln |x| + \frac{1}{2} \cos(2x) + C \]
Шаг 2: Найдем C, используя точку A(3; 2)
Подставляем \( x = 3 \) и \( F(3) = 2 \):
\[ F(3) = \ln(3) + \frac{1}{2} \cos(6) + C = 2 \]
Решаем для \( C \):
\[ C = 2 - \ln(3) - \frac{1}{2} \cos(6) \]
Таким образом, окончательная первообразная:
\[ F(x) = \ln |x| + \frac{1}{2} \cos(2x) + 2 - \ln(3) - \frac{1}{2} \cos(6) \]
2. \( f(x) = \frac{1}{x} \), \( A(4; 6) \)
Шаг 1: Найдем первообразную
Для \( f(x) = \frac{1}{x} \):
\[ F(x) = \int f(x) \, dx = \ln |x| + C \]
Шаг 2: Подставим точку A(4; 6)
Подставляем \( x = 4 \):
\[ F(4) = \ln(4) + C = 6 \]
Решаем для \( C \):
\[ C = 6 - \ln(4) \]
Окончательная первообразная:
\[ F(x) = \ln |x| + 6 - \ln(4) \]
3. \( f(x) = 1 \), \( A(\ln 2; 0) \)
Шаг 1: Найдем первообразную
Для \( f(x) = 1 \):
\[ F(x) = \int f(x) \, dx = x + C \]
Шаг 2: Подставим точку A(\ln 2; 0)
Подставляем \( x = \ln(2) \):
\[ F(\ln 2) = \ln 2 + C = 0 \]
Решаем для \( C \):
\[ C = -\ln 2 \]
Окончательная первообразная:
\[ F(x) = x - \ln 2 \]
4. \( f(x) = -\sin(x) - \cos(x) \), \( A(1; 0) \)
Шаг 1: Найдем первообразную
Для функции:
\[ F(x) = -\int \sin(x) \, dx - \int \cos(x) \, dx = \cos(x) - \sin(x) + C \]
Шаг 2: Подставляем точку A(1; 0)
Подставляем \( x = 1 \):
\[ F(1) = \cos(1) - \sin(1) + C = 0 \]
Решаем для \( C \):
\[ C = -\cos(1) + \sin(1) \]
Окончательная первообразная:
\[ F(x) = \cos(x) - \sin(x) - \cos(1) + \sin(1) \]
5. \( f(x) = x^2 - \frac{3}{x} \), \( A(-1; 4) \)
Шаг 1: Найдем первообразную
Для функции:
\[ F(x) = \int \left( x^2 - \frac{3}{x} \right) dx = \frac{x^3}{3} - 3\ln |x| + C \]
Шаг 2: Подставляем точку A(-1; 4)
Подставляем \( x = -1 \):
\[ F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 3\ln(1) + C = 4 \]
Решаем для \( C \):
\[ C = 4 + \frac{1}{3} \]
Окончательная первообразная:
\[ F(x) = \frac{x^3}{3} - 3\ln |x| + \frac{13}{3} \]
6. \( f(x) = 3^4 - 1 \)
Шаг 1: Найдем первообразную
Так как \( f(x) \) является константой, мы получаем:
\[ F(x) = 3^4x - x + C = 80x + C \]
Без точки A у нас не получится уточнить \( C \). Таким образом, просто:
\[ F(x) = 80x + C \]
Это подробные решения для каждой из указанных задач. Если есть дополнительные вопросы или конкретизация по каким-либо пунктам, не стесняйтесь спрашивать!
