Решение пожалуйста

Чтобы помочь с заданием, давайте разберёмся с каждой задачей. ### 1. Найти производную функции **1. \( y = x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5 \)** Используем правило дифференцирования степенной функции: \((x^n)' = nx^{n-1}\). \[ y' = (x^4)' + (4x^3)' - (8x^2)' - (5)' \] \[ y' = 4x^3 + 12x^2 - 16x - 0 \] \[ y' = 4x^3 + 12x^2 - 16x \] **2. \( y = \frac{-2}{x} \)** Это можно записать как \(-2x^{-1}\). Производная будет: \[ y' = (-2)(-1)x^{-2} = \frac{2}{x^2} \] **3. \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \)** Применяем правило дифференцирования для дроби. Если \( y = \frac{1}{u} \), то \( y' = -\frac{u'}{u^2} \). Здесь \( u = x^2 + 1 \), значит \( u' = 2x \). \[ y' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \] ### 2. Найти промежутки монотонности функции **\( y = x^3 + x^2 - 5x - 3 \)** Сначала найдём производную: \[ y' = (x^3)' + (x^2)' - (5x)' - (3)' \] \[ y' = 3x^2 + 2x - 5 \] Теперь найдём корни уравнения \( y' = 0 \) для критических точек: \[ 3x^2 + 2x - 5 = 0 \] Используем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 8}{6} \] \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{5}{3} \] Проверим знаки производной на промежутках \((-∞, -\frac{5}{3})\), \((- \frac{5}{3}, 1)\), \((1, ∞)\). - Если \( x < -\frac{5}{3} \), \( y' > 0 \) (функция возрастает). - Если \( -\frac{5}{3} < x < 1 \), \( y' < 0 \) (функция убывает). - Если \( x > 1 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает). ### 3. Найти экстремумы функции Для поиска экстремумов находим точки, где \( y' = 0 \) и проверяем знак производной по обе стороны от этих точек: - Точка \( x = -\frac{5}{3} \) — меняется с \(+\) на \(-\), есть максимум. - Точка \( x = 1 \) — меняется с \(-\) на \(+\), есть минимум. Исходя из вышеизложенного, мы нашли промежутки монотонности и экстремумы функции. Надеюсь, это поможет вам понять решение задачи!