Решение пожалуйста
Чтобы помочь с заданием, давайте разберёмся с каждой задачей.
1. Найти производную функции
1. \( y = x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5 \)
Используем правило дифференцирования степенной функции: \((x^n)' = nx^{n-1}\).
\[ y' = (x^4)' + (4x^3)' - (8x^2)' - (5)' \]
\[ y' = 4x^3 + 12x^2 - 16x - 0 \]
\[ y' = 4x^3 + 12x^2 - 16x \]
2. \( y = \frac{-2}{x} \)
Это можно записать как \(-2x^{-1}\). Производная будет:
\[ y' = (-2)(-1)x^{-2} = \frac{2}{x^2} \]
3. \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \)
Применяем правило дифференцирования для дроби. Если \( y = \frac{1}{u} \), то \( y' = -\frac{u'}{u^2} \).
Здесь \( u = x^2 + 1 \), значит \( u' = 2x \).
\[ y' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \]
2. Найти промежутки монотонности функции
\( y = x^3 + x^2 - 5x - 3 \)
Сначала найдём производную:
\[ y' = (x^3)' + (x^2)' - (5x)' - (3)' \]
\[ y' = 3x^2 + 2x - 5 \]
Теперь найдём корни уравнения \( y' = 0 \) для критических точек:
\[ 3x^2 + 2x - 5 = 0 \]
Используем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):
\[ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 \]
Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 8}{6} \]
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{5}{3} \]
Проверим знаки производной на промежутках \((-∞, -\frac{5}{3})\), \((- \frac{5}{3}, 1)\), \((1, ∞)\).
- Если \( x < -\frac{5}{3} \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
- Если \( -\frac{5}{3} < x < 1 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
- Если \( x > 1 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
3. Найти экстремумы функции
Для поиска экстремумов находим точки, где \( y' = 0 \) и проверяем знак производной по обе стороны от этих точек:
- Точка \( x = -\frac{5}{3} \) — меняется с \(+\) на \(-\), есть максимум.
- Точка \( x = 1 \) — меняется с \(-\) на \(+\), есть минимум.
Исходя из вышеизложенного, мы нашли промежутки монотонности и экстремумы функции.
Надеюсь, это поможет вам понять решение задачи!
