В треугольнике ABC угол C равен 90°, M  — середина стороны AB, AB  =  20, BC  =  10. Найдите CM.

Чтобы найти длину отрезка CM, выполним пошаговое решение, учитывая, что треугольник ABC — прямоугольный, с углом C равным 90°. Мы будем использовать свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора. 1. **Известные значения:** У нас есть: - \( AB = 20 \) (где AB — гипотенуза), - \( BC = 10 \) (где BC — один из катетов), - \( \angle C = 90° \). 2. **Найдем длину второго катета AC:** По теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим известные значения: \[ 20^2 = AC^2 + 10^2 \] \[ 400 = AC^2 + 100 \] \[ AC^2 = 400 - 100 = 300 \] \[ AC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \] 3. **Находим координаты точек:** Для удобства давайте зададим координаты точек: - \( C(0, 0) \) — угол C (начало координат), - \( B(0, 10) \) — точка B, поскольку BC вертикальный, - \( A(10\sqrt{3}, 0) \) — точка A, так как AC горизонтальный. 4. **Координаты середины отрезка AB:** Теперь найдём координаты точки M, которая является серединой отрезка AB. Координаты M вычисляются как среднее арифметическое координат A и B: - Координата \( x \) точки M: \[ x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{10\sqrt{3} + 0}{2} = 5\sqrt{3} \] - Координата \( y \) точки M: \[ y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + 10}{2} = 5 \] Таким образом, \( M(5\sqrt{3}, 5) \). 5. **Вычисляем CM:** Теперь, чтобы найти длину CM, используем формулу для расстояния между двумя точками \( C(0, 0) \) и \( M(5\sqrt{3}, 5) \): \[ CM = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2} \] Подставляем значения: \[ CM = \sqrt{(5\sqrt{3} - 0)^2 + (5 - 0)^2} \] \[ = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + 5^2} \] \[ = \sqrt{75 + 25} = \sqrt{100} = 10 \] Таким образом, длина отрезка CM равна **10**.