В треугольнике ABC угол C равен 90°, M — середина стороны AB, AB = 20, BC = 10. Найдите CM.
Чтобы найти длину отрезка CM, выполним пошаговое решение, учитывая, что треугольник ABC — прямоугольный, с углом C равным 90°. Мы будем использовать свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора.
Известные значения:
У нас есть:- \( AB = 20 \) (где AB — гипотенуза),
- \( BC = 10 \) (где BC — один из катетов),
- \( \angle C = 90° \).
Найдем длину второго катета AC:
По теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим известные значения: \[ 20^2 = AC^2 + 10^2 \] \[ 400 = AC^2 + 100 \] \[ AC^2 = 400 - 100 = 300 \] \[ AC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \]Находим координаты точек:
Для удобства давайте зададим координаты точек:- \( C(0, 0) \) — угол C (начало координат),
- \( B(0, 10) \) — точка B, поскольку BC вертикальный,
- \( A(10\sqrt{3}, 0) \) — точка A, так как AC горизонтальный.
Координаты середины отрезка AB:
Теперь найдём координаты точки M, которая является серединой отрезка AB. Координаты M вычисляются как среднее арифметическое координат A и B:- Координата \( x \) точки M: \[ x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{10\sqrt{3} + 0}{2} = 5\sqrt{3} \]
- Координата \( y \) точки M: \[ y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + 10}{2} = 5 \] Таким образом, \( M(5\sqrt{3}, 5) \).
Вычисляем CM:
Теперь, чтобы найти длину CM, используем формулу для расстояния между двумя точками \( C(0, 0) \) и \( M(5\sqrt{3}, 5) \): \[ CM = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2} \] Подставляем значения: \[ CM = \sqrt{(5\sqrt{3} - 0)^2 + (5 - 0)^2} \] \[ = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + 5^2} \] \[ = \sqrt{75 + 25} = \sqrt{100} = 10 \]
Таким образом, длина отрезка CM равна 10.
