Формулы для вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения

Чтобы понять, как работают формулы для вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения, давайте рассмотрим квадратное уравнение в стандартной форме: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] где \( a \), \( b \) и \( c \) — это коэффициенты, и \( a \neq 0 \). ### Шаг 1: Дискриминант Дискриминант (\( D \)) — это важная часть решения квадратного уравнения. Он вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] ### Шаг 2: Интерпретация дискриминанта Дискриминант позволяет определить количество и тип корней уравнения: 1. **Если \( D > 0 \)**: У уравнения два различных вещественных корня. 2. **Если \( D = 0 \)**: У уравнения один двойной вещественный корень. 3. **Если \( D < 0 \)**: У уравнения нет вещественных корней (корни комплексные). ### Шаг 3: Формулы для корней После нахождения дискриминанта мы можем вычислить корни уравнения, используя следующие формулы: - Если \( D > 0 \): \[ x_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} \] \[ x_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} \] - Если \( D = 0 \): \[ x = \frac{{-b}}{{2a}} \] - Если \( D < 0 \): Корни будут комплексными и их можно записать как: \[ x_1 = \frac{{-b}}{{2a}} + \frac{{\sqrt{|D|}}}{{2a}}i \] \[ x_2 = \frac{{-b}}{{2a}} - \frac{{\sqrt{|D|}}}{{2a}}i \] где \( i \) — мнимая единица. ### Шаг 4: Пример Рассмотрим пример уравнения: \[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \] 1. Найдем коэффициенты: \( a = 2 \), \( b = -4 \), \( c = -6 \). 2. Вычислим дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64 \] 3. Так как \( D > 0 \), у уравнения два различных корня: \[ x_1 = \frac{{-(-4) + \sqrt{64}}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{4 + 8}}{4} = 3 \] \[ x_2 = \frac{{-(-4) - \sqrt{64}}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{4 - 8}}{4} = -1 \] Таким образом, корни уравнения \( 2x^2 - 4x - 6 = 0 \) равны \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \). ### Summary Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения являются важными инструментами в алгебре, позволяющими находить решения квадратных уравнений в зависимости от их коэффициентов.