Давайте решим задачи по электромагнитным колебаниям.
1. Определение периода собственных колебаний.
Формула периода колебаний (T) в колебательном контуре:
[ T = 2\pi\sqrt{LC} ]
Где:
- ( L = 2.5 ) Гн (индуктивность),
- ( C = 1.5 ) мкФ ( = 1.5 \times 10^{-6} ) Ф (емкость).
Решение:
Подставляем значения:
[
T = 2\pi\sqrt{2.5 \times 1.5 \times 10^{-6}}
]
Сначала вычислим подкоренное выражение:
[
2.5 \times 1.5 \times 10^{-6} = 3.75 \times 10^{-6}
]
Извлекаем корень:
[
\sqrt{3.75 \times 10^{-6}} \approx 1.936 \times 10^{-3}
]
Умножаем на ( 2\pi ):
[
T \approx 2\pi \times 1.936 \times 10^{-3} \approx 0.0122 , \text{с}
]
Ответ: ( T \approx 0.0122 , \text{с} ).
2. Определение индуктивности при заданном периоде.
Дано:
- ( T = 0.2 ) с,
- ( C = 2.5 ) мкФ ( = 2.5 \times 10^{-6} ) Ф.
Формула для нахождения индуктивности (L):
[ L = \frac{T^2}{4\pi^2C} ]
Решение:
Подставляем значения:
[
L = \frac{(0.2)^2}{4\pi^2 \times 2.5 \times 10^{-6}}
]
Вычисляем:
[
0.2^2 = 0.04
]
[
4\pi^2 \approx 39.478
]
[
L = \frac{0.04}{39.478 \times 2.5 \times 10^{-6}}
]
[
L \approx 0.404 , \text{Гн}
]
Ответ: Индуктивность ( L \approx 0.404 , \text{Гн} ).
3. Определение периода и частоты колебаний.
Формула частоты (f):
[ f = \frac{1}{T} ]
Дано:
- ( C = 250 ) пФ ( = 250 \times 10^{-12} ) Ф,
- ( L = 10 ) мГн ( = 10 \times 10^{-3} ) Гн.
Сначала находим период (T):
[ T = 2\pi\sqrt{LC} ]
Подставляем значения:
[
T = 2\pi\sqrt{10 \times 10^{-3} \times 250 \times 10^{-12}}
]
Вычисляем:
[
10 \times 250 \times 10^{-15} = 2.5 \times 10^{-12}
]
[
\sqrt{2.5 \times 10^{-12}} \approx 1.58 \times 10^{-6}
]
[
T \approx 2\pi \times 1.58 \times 10^{-6} \approx 9.93 \times 10^{-6} , \text{с}
]
Частота:
[
f \approx \frac{1}{9.93 \times 10^{-6}} \approx 100.7 , \text{кГц}
]
Ответ: ( T \approx 9.93 \times 10^{-6} , \text{с} ), ( f \approx 100.7 , \text{кГц} ).
4. Определение емкости конденсатора.
Дано:
- ( f = 3 ) МГц ( = 3 \times 10^6 ) Гц,
- ( L = 1.3 ) мГн ( = 1.3 \times 10^{-3} ) Гн.
Формула для нахождения емкости (C):
[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \Rightarrow C = \frac{1}{(2\pi f)^2 L} ]
Подставляем значения:
[
C = \frac{1}{(2\pi \times 3 \times 10^6)^2 \times 1.3 \times 10^{-3}}
]
Вычисляем:
[
(2\pi \times 3 \times 10^6)^2 \approx 355.305 \times 10^{12}
]
[
C \approx \frac{1}{355.305 \times 10^{12} \times 1.3 \times 10^{-3}} \approx 6.99 \times 10^{-12} , \text{Ф} = 7 , \text{пФ}
]
Ответ: Емкость должна быть примерно ( 7 , \text{пФ} ).
