Решение задач: 1. Чему равен период собственных колебаний в контуре, если его индуктивность 2,5 Гн, а емкость 1,5 мкФ? 2. Для демонстрации медленных электромагнитных колебаний…

Давайте решим задачи по электромагнитным колебаниям.

1. Определение периода собственных колебаний.

Формула периода колебаний (T) в колебательном контуре: \[ T = 2\pi\sqrt{LC} \]

Где:

• \( L = 2.5 \) Гн (индуктивность),
• \( C = 1.5 \) мкФ \( = 1.5 \times 10^{-6} \) Ф (емкость).

Решение:

1. Подставляем значения: \[ T = 2\pi\sqrt{2.5 \times 1.5 \times 10^{-6}} \]

2. Сначала вычислим подкоренное выражение: \[ 2.5 \times 1.5 \times 10^{-6} = 3.75 \times 10^{-6} \]

3. Извлекаем корень: \[ \sqrt{3.75 \times 10^{-6}} \approx 1.936 \times 10^{-3} \]

4. Умножаем на \( 2\pi \): \[ T \approx 2\pi \times 1.936 \times 10^{-3} \approx 0.0122 \, \text{с} \]

Ответ: \( T \approx 0.0122 \, \text{с} \).

2. Определение индуктивности при заданном периоде.

Дано:

• \( T = 0.2 \) с,
• \( C = 2.5 \) мкФ \( = 2.5 \times 10^{-6} \) Ф.

Формула для нахождения индуктивности (L): \[ L = \frac{T^2}{4\pi^2C} \]

Решение:

1. Подставляем значения: \[ L = \frac{(0.2)^2}{4\pi^2 \times 2.5 \times 10^{-6}} \]

2. Вычисляем: \[ 0.2^2 = 0.04 \] \[ 4\pi^2 \approx 39.478 \] \[ L = \frac{0.04}{39.478 \times 2.5 \times 10^{-6}} \] \[ L \approx 0.404 \, \text{Гн} \]

Ответ: Индуктивность \( L \approx 0.404 \, \text{Гн} \).

3. Определение периода и частоты колебаний.

Формула частоты (f): \[ f = \frac{1}{T} \]

Дано:

• \( C = 250 \) пФ \( = 250 \times 10^{-12} \) Ф,
• \( L = 10 \) мГн \( = 10 \times 10^{-3} \) Гн.

Сначала находим период (T): \[ T = 2\pi\sqrt{LC} \]

1. Подставляем значения: \[ T = 2\pi\sqrt{10 \times 10^{-3} \times 250 \times 10^{-12}} \]

2. Вычисляем: \[ 10 \times 250 \times 10^{-15} = 2.5 \times 10^{-12} \] \[ \sqrt{2.5 \times 10^{-12}} \approx 1.58 \times 10^{-6} \] \[ T \approx 2\pi \times 1.58 \times 10^{-6} \approx 9.93 \times 10^{-6} \, \text{с} \]

Частота: \[ f \approx \frac{1}{9.93 \times 10^{-6}} \approx 100.7 \, \text{кГц} \]

Ответ: \( T \approx 9.93 \times 10^{-6} \, \text{с} \), \( f \approx 100.7 \, \text{кГц} \).

4. Определение емкости конденсатора.

Дано:

• \( f = 3 \) МГц \( = 3 \times 10^6 \) Гц,
• \( L = 1.3 \) мГн \( = 1.3 \times 10^{-3} \) Гн.

Формула для нахождения емкости (C): \[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \Rightarrow C = \frac{1}{(2\pi f)^2 L} \]

1. Подставляем значения: \[ C = \frac{1}{(2\pi \times 3 \times 10^6)^2 \times 1.3 \times 10^{-3}} \]

2. Вычисляем: \[ (2\pi \times 3 \times 10^6)^2 \approx 355.305 \times 10^{12} \] \[ C \approx \frac{1}{355.305 \times 10^{12} \times 1.3 \times 10^{-3}} \approx 6.99 \times 10^{-12} \, \text{Ф} = 7 \, \text{пФ} \]

Ответ: Емкость должна быть примерно \( 7 \, \text{пФ} \).