Чтобы доказать, что функция ( y = x^2 + 4x - 8 ) является убывающей на промежутке ((-7; -3)), нам нужно рассмотреть производную этой функции. Если производная отрицательна на данном промежутке, то функция убывает.
Шаг 1: Найдем производную функции
Функция задана как:
[
y = x^2 + 4x - 8
]
Найдем первую производную ( y' ):
[
y' = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(8)
]
Используя правила дифференцирования, получаем:
[
y' = 2x + 4
]
Шаг 2: Анализ производной на промежутке ((-7; -3))
Теперь мы исследуем, как изменяется производная ( y' ) на промежутке ((-7; -3)).
Подставим границы промежутка в производную:
- Для ( x = -7 ):
[
y'(-7) = 2(-7) + 4 = -14 + 4 = -10
]
- Для ( x = -3 ):
[
y'(-3) = 2(-3) + 4 = -6 + 4 = -2
]
Шаг 3: Определим знаки производной
Теперь рассмотрим функцию ( y' = 2x + 4 ) на промежутке ((-7; -3)).
- Мы видим, что:
- ( y'(-7) = -10 < 0 )
- ( y'(-3) = -2 < 0 )
Поскольку производная ( y' = 2x + 4 ) является линейной функцией, она будет убывать на промежутке ((-7; -3)), так как коэффициент при ( x ) положителен (2).
Шаг 4: Заключение
Так как производная ( y' < 0 ) на промежутке ((-7; -3)), это значит, что функция ( y = x^2 + 4x - 8 ) является убывающей на этом промежутке.
Таким образом, мы доказали, что функция убывает на заданном промежутке.
