Докажите, что функция у = x2 + 4x-8 является убывающей на промежутке (-7; -3).

Чтобы доказать, что функция \( y = x^2 + 4x - 8 \) является убывающей на промежутке \((-7; -3)\), нам нужно рассмотреть производную этой функции. Если производная отрицательна на данном промежутке, то функция убывает.

Шаг 1: Найдем производную функции

Функция задана как: \[ y = x^2 + 4x - 8 \] Найдем первую производную \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(8) \] Используя правила дифференцирования, получаем: \[ y' = 2x + 4 \]

Шаг 2: Анализ производной на промежутке \((-7; -3)\)

Теперь мы исследуем, как изменяется производная \( y' \) на промежутке \((-7; -3)\).

1. Подставим границы промежутка в производную:

   • Для \( x = -7 \): \[ y'(-7) = 2(-7) + 4 = -14 + 4 = -10 \]
   • Для \( x = -3 \): \[ y'(-3) = 2(-3) + 4 = -6 + 4 = -2 \]

Шаг 3: Определим знаки производной

Теперь рассмотрим функцию \( y' = 2x + 4 \) на промежутке \((-7; -3)\).

• Мы видим, что:
  • \( y'(-7) = -10 < 0 \)
  • \( y'(-3) = -2 < 0 \)

Поскольку производная \( y' = 2x + 4 \) является линейной функцией, она будет убывать на промежутке \((-7; -3)\), так как коэффициент при \( x \) положителен (2).

Шаг 4: Заключение

Так как производная \( y' < 0 \) на промежутке \((-7; -3)\), это значит, что функция \( y = x^2 + 4x - 8 \) является убывающей на этом промежутке.

Таким образом, мы доказали, что функция убывает на заданном промежутке.