длина окружности описанной около квадрата равна 15 пи сантиметров найдите длину окружности вписанной в этот квадрат

Чтобы решить задачу, начнем с понимания основных свойств квадрата и его окружностей.

1. Длина окружности описанной вокруг квадрата: Длина окружности \( C \) описанной вокруг квадрата равна 15π см.

   Длина окружности описанной вокруг квадрата определяется как: \[ C = 2\pi R \] где \( R \) — это радиус окружности, описанной вокруг квадрата. Поскольку квадрат имеет равные стороны и его углы равны, радиус окружности, описанной вокруг квадрата, можно выразить через сторону квадрата \( a \): \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Следовательно, длина окружности преобразуется в: \[ C = 2\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) = a\sqrt{2}\pi \]

   Подставим значение, которое нам дано: \[ a\sqrt{2}\pi = 15\pi \] Делим обе стороны на \(\pi\): \[ a\sqrt{2} = 15 \] Теперь найдем сторону квадрата \( a \): \[ a = \frac{15}{\sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{2}}{2} \text{ см} \]

2. Длина окружности вписанной в квадрат: Длина окружности \( C_{\text{вписанной}} \) вписанной в квадрат равна: \[ C_{\text{вписанной}} = 2\pi r \] где \( r \) — радиус окружности, вписанной в квадрат. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата: \[ r = \frac{a}{2} \]

   Подставим значение \( a \): \[ r = \frac{15\sqrt{2}/2}{2} = \frac{15\sqrt{2}}{4} \text{ см} \]

   Теперь можем найти длину окружности вписанной окружности: \[ C_{\text{вписанной}} = 2\pi \left(\frac{15\sqrt{2}}{4}\right) \] Упростим это выражение: \[ C_{\text{вписанной}} = \frac{30\sqrt{2}\pi}{4} = \frac{15\sqrt{2}\pi}{2} \]

3. Ответ: Длина окружности, вписанной в квадрат, равна \(\frac{15\sqrt{2}\pi}{2}\) см.