1. Исследуйте на монотонность функцию: a) y = 3x + 1; б) у = 1 - 2х. 2. Исследуйге на монотонность функцию: y - [x - 2| - 1. 3. Докажите, что функция щей на промежутке (0; 2). у =…

Чтобы исследовать функции на монотонность, нам нужно определить, является ли функция возрастающей или убывающей на заданных интервалах. Основные шаги, которые мы будем использовать:

1. Найти производную функции.
2. Определить знак производной на заданном интервале.
3. Сделать вывод о монотонности функции.

Давайте рассмотрим каждую из задач по порядку.

Задача 1: Исследуйте на монотонность функции

a) \( y = 3x + 1 \)

1. Находим производную: \[ \frac{dy}{dx} = 3 \]

   Производная равна 3, что положительно.

2. Определяем знак производной: Поскольку производная положительна на всей действительной оси, функция \( y = 3x + 1 \) будет возрастающей на всей области определения.

б) \( y = 1 - 2x \)

1. Находим производную: \[ \frac{dy}{dx} = -2 \]

   Производная равна -2, что отрицательно.

2. Определяем знак производной: Поскольку производная отрицательна на всей действительной оси, функция \( y = 1 - 2x \) будет убывающей на всей области определения.

Задача 2: Исследуйте на монотонность функции \( y = |x - 2| - 1 \)

1. Анализируем модуль: Для определения монотонности функций с модулем, мы рассмотрим два случая:

   • \( x < 2 \) ⇒ \( y = -(x - 2) - 1 = -x + 1 \)
   • \( x \geq 2 \) ⇒ \( y = (x - 2) - 1 = x - 3 \)

2. Находим производные:

   • Для \( x < 2 \): \( \frac{dy}{dx} = -1 \) (убывающая)
   • Для \( x \geq 2 \): \( \frac{dy}{dx} = 1 \) (возрастающая)

3. Определяем монотонность:

   • На интервале \( (-\infty, 2) \) функция убывает.
   • На интервале \( [2, +\infty) \) функция возрастает.

Задача 3: Докажите, что функция \( y = x^2 + 2x - 3 \) является возрастающей на промежутке \( (0; 2) \)

1. Находим производную: \[ \frac{dy}{dx} = 2x + 2 \]

2. Анализируем производную на интервале \( (0, 2) \):

   • Для \( x = 0 \): \[ \frac{dy}{dx} = 2(0) + 2 = 2 > 0 \]
   • Для \( x = 2 \): \[ \frac{dy}{dx} = 2(2) + 2 = 6 > 0 \]
   • Для любого \( x \) в интервале \( (0, 2) \), производная будет положительной, потому что \( 2x + 2 > 0 \) для \( x > -1 \).

3. Вывод: Поскольку производная положительна на интервале \( (0; 2) \), функция \( y = x^2 + 2x - 3 \) является возрастающей на промежутке \( (0; 2) \).

Эти шаги позволяют нам четко понять, как исследовать функции на монотонность. Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать!