1. Исследуйте на монотонность функцию: a) y = 3x + 1; б) у = 1 - 2х. 2. Исследуйге на монотонность функцию: y - [x - 2| - 1. 3. Докажите, что функция щей на промежутке (0; 2). у = x + 2x - 3 является возрастающей на промежутке (0;2)

Чтобы исследовать функции на монотонность, нам нужно определить, является ли функция возрастающей или убывающей на заданных интервалах. Основные шаги, которые мы будем использовать: 1. Найти производную функции. 2. Определить знак производной на заданном интервале. 3. Сделать вывод о монотонности функции. Давайте рассмотрим каждую из задач по порядку. ### Задача 1: Исследуйте на монотонность функции **a) \( y = 3x + 1 \)** 1. **Находим производную:** \[ \frac{dy}{dx} = 3 \] Производная равна 3, что положительно. 2. **Определяем знак производной:** Поскольку производная положительна на всей действительной оси, функция \( y = 3x + 1 \) будет **возрастающей на всей области определения**. **б) \( y = 1 - 2x \)** 1. **Находим производную:** \[ \frac{dy}{dx} = -2 \] Производная равна -2, что отрицательно. 2. **Определяем знак производной:** Поскольку производная отрицательна на всей действительной оси, функция \( y = 1 - 2x \) будет **убывающей на всей области определения**. ### Задача 2: Исследуйте на монотонность функции \( y = |x - 2| - 1 \) 1. **Анализируем модуль:** Для определения монотонности функций с модулем, мы рассмотрим два случая: - \( x < 2 \) ⇒ \( y = -(x - 2) - 1 = -x + 1 \) - \( x \geq 2 \) ⇒ \( y = (x - 2) - 1 = x - 3 \) 2. **Находим производные:** - Для \( x < 2 \): \( \frac{dy}{dx} = -1 \) (убывающая) - Для \( x \geq 2 \): \( \frac{dy}{dx} = 1 \) (возрастающая) 3. **Определяем монотонность:** - На интервале \( (-\infty, 2) \) функция убывает. - На интервале \( [2, +\infty) \) функция возрастает. ### Задача 3: Докажите, что функция \( y = x^2 + 2x - 3 \) является возрастающей на промежутке \( (0; 2) \) 1. **Находим производную:** \[ \frac{dy}{dx} = 2x + 2 \] 2. **Анализируем производную на интервале \( (0, 2) \):** - Для \( x = 0 \): \[ \frac{dy}{dx} = 2(0) + 2 = 2 > 0 \] - Для \( x = 2 \): \[ \frac{dy}{dx} = 2(2) + 2 = 6 > 0 \] - Для любого \( x \) в интервале \( (0, 2) \), производная будет положительной, потому что \( 2x + 2 > 0 \) для \( x > -1 \). 3. **Вывод:** Поскольку производная положительна на интервале \( (0; 2) \), функция \( y = x^2 + 2x - 3 \) является **возрастающей на промежутке \( (0; 2) \)**. Эти шаги позволяют нам четко понять, как исследовать функции на монотонность. Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать!