4√x+3/x-10/x^5+8x^2+1 решить интеграл

Давай решим данный интеграл шаг за шагом. Итак, у нас есть выражение: \[ \int \left(4\sqrt{x} + \frac{3}{x} - \frac{10}{x^5} + 8x^2 + 1\right) \, dx \] 1. **Разделим интеграл на части** Интеграл от суммы разбияется на сумму интегралов: \[ \int \left(4\sqrt{x}\right) \, dx + \int \left(\frac{3}{x}\right) \, dx - \int \left(\frac{10}{x^5}\right) \, dx + \int \left(8x^2\right) \, dx + \int 1 \, dx \] 2. **Найдем каждую часть по отдельности:** a) **Интеграл \( \int 4\sqrt{x} \, dx \)** Напомним, что \( \sqrt{x} = x^{1/2} \). Тогда: \[ \int 4\sqrt{x} \, dx = \int 4x^{1/2} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{8}{3} x^{3/2} \] b) **Интеграл \( \int \frac{3}{x} \, dx \)** Используем формулу: \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| \quad \Rightarrow \quad \int \frac{3}{x} \, dx = 3 \ln|x| \] c) **Интеграл \( -\int \frac{10}{x^5} \, dx \)** Преобразуем в более удобный вид: \[ \int \frac{10}{x^5} \, dx = 10 \int x^{-5} \, dx = 10 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} = -\frac{10}{4} x^{-4} = -\frac{5}{2x^4} \] d) **Интеграл \( \int 8x^2 \, dx \)** \[ \int 8x^2 \, dx = 8 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{8}{3} x^3 \] e) **Интеграл \( \int 1 \, dx \)** Это простой интеграл: \[ \int 1 \, dx = x \] 3. **Сбираем все вместе** Теперь мы можем собрать все найденные интегралы: \[ \int \left(4\sqrt{x} + \frac{3}{x} - \frac{10}{x^5} + 8x^2 + 1\right) \, dx = \frac{8}{3} x^{3/2} + 3 \ln|x| - \frac{5}{2x^4} + \frac{8}{3} x^3 + x + C \] где \( C \) — константа интегрирования. Таким образом, окончательный ответ: \[ \frac{8}{3} x^{3/2} + 3 \ln|x| - \frac{5}{2x^4} + \frac{8}{3} x^3 + x + C \]