4√x+3/x-10/x^5+8x^2+1 решить интеграл
Давай решим данный интеграл шаг за шагом. Итак, у нас есть выражение:
\[ \int \left(4\sqrt{x} + \frac{3}{x} - \frac{10}{x^5} + 8x^2 + 1\right) \, dx \]
- Разделим интеграл на части
Интеграл от суммы разбияется на сумму интегралов:
\[ \int \left(4\sqrt{x}\right) \, dx + \int \left(\frac{3}{x}\right) \, dx - \int \left(\frac{10}{x^5}\right) \, dx + \int \left(8x^2\right) \, dx + \int 1 \, dx \]
Найдем каждую часть по отдельности:
a) Интеграл \( \int 4\sqrt{x} \, dx \)
Напомним, что \( \sqrt{x} = x^{1/2} \).
Тогда:
\[ \int 4\sqrt{x} \, dx = \int 4x^{1/2} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{8}{3} x^{3/2} \]b) Интеграл \( \int \frac{3}{x} \, dx \)
Используем формулу:
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| \quad \Rightarrow \quad \int \frac{3}{x} \, dx = 3 \ln|x| \]c) Интеграл \( -\int \frac{10}{x^5} \, dx \)
Преобразуем в более удобный вид:
\[ \int \frac{10}{x^5} \, dx = 10 \int x^{-5} \, dx = 10 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} = -\frac{10}{4} x^{-4} = -\frac{5}{2x^4} \]d) Интеграл \( \int 8x^2 \, dx \)
\[ \int 8x^2 \, dx = 8 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{8}{3} x^3 \]e) Интеграл \( \int 1 \, dx \)
Это простой интеграл:
\[ \int 1 \, dx = x \]Сбираем все вместе
Теперь мы можем собрать все найденные интегралы:
\[ \int \left(4\sqrt{x} + \frac{3}{x} - \frac{10}{x^5} + 8x^2 + 1\right) \, dx = \frac{8}{3} x^{3/2} + 3 \ln|x| - \frac{5}{2x^4} + \frac{8}{3} x^3 + x + C \]
где \( C \) — константа интегрирования.
Таким образом, окончательный ответ:
\[ \frac{8}{3} x^{3/2} + 3 \ln|x| - \frac{5}{2x^4} + \frac{8}{3} x^3 + x + C \]
