найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции у=х^3-3х^2/2

Для анализа функции \( y = \frac{x^3 - 3x^2}{2} \) найдем ее промежутки возрастания, убывания и экстремумы.

Шаг 1: Нахождение производной

Для начала найдем производную функции \( y \): \[ y = \frac{x^3 - 3x^2}{2} \] Найдем производную \( y' \) с помощью правила дифференцирования: \[ y' = \frac{1}{2} (3x^2 - 6x) = \frac{3}{2}(x^2 - 2x) = \frac{3}{2} x (x - 2) \]

Шаг 2: Поиск критических точек

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует: \[ \frac{3}{2} x (x - 2) = 0 \]

Это уравнение равно нулю, когда:

• \( x = 0 \)
• \( x - 2 = 0 \) → \( x = 2 \)

Таким образом, критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

Шаг 3: Исследование знака производной

Теперь определим знаки производной в интервалах, образованных критическими точками. Разобьем числовую прямую на интервалы:

1. \( (-\infty, 0) \)
2. \( (0, 2) \)
3. \( (2, +\infty) \)

Теперь выберем тестовые точки в каждом интервале и подставим их в производную \( y' \):

• Для интервала \( (-\infty, 0) \), например \( x = -1 \): \[ y'(-1) = \frac{3}{2}(-1)(-3) = \frac{9}{2} > 0 \] (функция возрастает)

• Для интервала \( (0, 2) \), например \( x = 1 \): \[ y'(1) = \frac{3}{2}(1)(-1) = -\frac{3}{2} < 0 \] (функция убывает)

• Для интервала \( (2, +\infty) \), например \( x = 3 \): \[ y'(3) = \frac{3}{2}(3)(1) = \frac{9}{2} > 0 \] (функция возрастает)

Шаг 4: Определение промежутков возрастания и убывания

Теперь можно подвести итоги:

• Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (2, +\infty) \).
• Функция убывает на интервале \( (0, 2) \).

Шаг 5: Определение экстремумов

На основании анализа производной можно сказать, что:

• В точке \( x = 0 \) функция имеет локальный максимум, так как функция меняет знак производной с положительного на отрицательное.
• В точке \( x = 2 \) функция имеет локальный минимум, так как функция меняет знак производной с отрицательного на положительное.

Шаг 6: Значения функции в экстремумах

Теперь найдем значения функции в этих точках:

1. Для \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{0^3 - 3 \cdot 0^2}{2} = 0 \]

2. Для \( x = 2 \): \[ y(2) = \frac{2^3 - 3 \cdot 2^2}{2} = \frac{8 - 12}{2} = -2 \]

Ответ

• Промежутки возрастания: \( (-\infty, 0) \) и \( (2, +\infty) \)
• Промежуток убывания: \( (0, 2) \)
• Локальный максимум в точке \( (0, 0) \)
• Локальный минимум в точке \( (2, -2) \)

Таким образом, мы нашли все необходимые характеристики функции!