реши
На картинке представлен прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \), где \( \angle ACB = 90^\circ \). Дано, что \( BC = 10 \), \( AB = c \) (необходимо найти), и \( CD = 5 \), где \( CD \) — высота, опущенная из вершины \( C \) на гипотенузу \( AB \).
Для решения задачи воспользуемся свойством высоты в прямоугольном треугольнике. Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит её на два отрезка, и произведение этих отрезков равно квадрату высоты. Таким образом, можем записать:
\[ AD \cdot DB = CD^2 \]
Обозначим \( AD = x \) и \( DB = y \). Тогда \( x + y = AB = 10 \), и вышеуказанное свойство даёт:
\[ x \cdot y = 5^2 = 25 \]
Теперь у нас система из двух уравнений:
- \( x + y = 10 \)
- \( x \cdot y = 25 \)
Решим эту систему. Из первого уравнения выразим \( y \):
\[ y = 10 - x \]
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[ x(10 - x) = 25 \]
Раскроем скобки:
\[ 10x - x^2 = 25 \]
Приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
\[ x^2 - 10x + 25 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D \) равен:
\[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \times 1 \times 25 = 100 - 100 = 0 \]
Поскольку дискриминант равен 0, уравнение имеет один корень:
\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{10}{2} = 5 \]
Таким образом, \( AD = 5 \) и \( DB = 5 \). Поэтому гипотенуза \( AB = AD + DB = 5 + 5 = 10 \).
Таким образом, \( AB = 10 \).
