Решить

Чтобы решить неравенство \(5^x - 3^x \geq 0\), найдем значения \(x\), при которых оно выполняется.

1. Рассмотрим простые значения для \(x\):

   • \(x = 0\): \(5^0 - 3^0 = 1 - 1 = 0\). Неравенство выполняется.
   • \(x = 1\): \(5^1 - 3^1 = 5 - 3 = 2\). Неравенство выполняется.
   • \(x = 2\): \(5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\). Неравенство выполняется.

2. Проверим, при каких \(x\) \(5^x\) становится больше или равно \(3^x\):

   • Заметим, что функция \(f(x) = 5^x - 3^x\) монотонно возрастает. Это значит, что если при каком-то значении \(x\) выполняется \(5^x - 3^x \geq 0\), то для всех больших \(x\) это тоже будет выполняться.
   • Из примеров выше видно, что начиная с \(x = 0\), функция неотрицательна.

3. Вывод:

   • Наименьшее целое \(x\), при котором \(5^x - 3^x \geq 0\), это \(x = 0\).

Таким образом, наименьший целый корень, удовлетворяющий неравенству \(5^x - 3^x \geq 0\), равен \(x = 0\).