Чтобы решить неравенство
[ \frac{2^{x + 1} - 1}{2^x - 1} \geq 2, ]
давайте упростим выражение и посмотрим, при каких значениях ( x ) неравенство выполняется.
Шаг 1: Упростим числитель
Числитель: ( 2^{x+1} - 1 = 2 \cdot 2^x - 1 ).
Шаг 2: Подставим числитель в неравенство
Получим:
[ \frac{2 \cdot 2^x - 1}{2^x - 1} \geq 2. ]
Шаг 3: Умножим обе стороны на знаменатель
Предположим, ( 2^x - 1 \neq 0 ) (то есть ( x \neq 0 )), чтобы избежать деления на ноль. Умножим обе части:
[ 2 \cdot 2^x - 1 \geq 2(2^x - 1). ]
Шаг 4: Раскроем скобки и упростим
[ 2 \cdot 2^x - 1 \geq 2 \cdot 2^x - 2. ]
Вычисление:
[ 2 \cdot 2^x - 1 \geq 2 \cdot 2^x - 2 ]
[ -1 \geq -2. ]
Это всегда верно, следовательно, все значения ( x \neq 0 ) будут решением неравенства при пресловутых условиях, что знаменатель не равен нулю.
Шаг 5: Проверка исключения
Проверим ( x = 0 ):
[ \frac{2^{0+1} - 1}{2^0 - 1} = \frac{2 - 1}{1 - 1}, ]
что приводит к делению на ноль, поэтому ( x = 0 ) не включается в решение.
Ответ
Все целые числа ( x ), кроме ( x = 0 ), являются решениями данного неравенства.
