Решить
Чтобы решить неравенство
\[ \frac{2^{x + 1} - 1}{2^x - 1} \geq 2, \]
давайте упростим выражение и посмотрим, при каких значениях \( x \) неравенство выполняется.
Шаг 1: Упростим числитель
Числитель: \( 2^{x+1} - 1 = 2 \cdot 2^x - 1 \).
Шаг 2: Подставим числитель в неравенство
Получим:
\[ \frac{2 \cdot 2^x - 1}{2^x - 1} \geq 2. \]
Шаг 3: Умножим обе стороны на знаменатель
Предположим, \( 2^x - 1 \neq 0 \) (то есть \( x \neq 0 \)), чтобы избежать деления на ноль. Умножим обе части:
\[ 2 \cdot 2^x - 1 \geq 2(2^x - 1). \]
Шаг 4: Раскроем скобки и упростим
\[ 2 \cdot 2^x - 1 \geq 2 \cdot 2^x - 2. \]
Вычисление:
\[ 2 \cdot 2^x - 1 \geq 2 \cdot 2^x - 2 \]
\[ -1 \geq -2. \]
Это всегда верно, следовательно, все значения \( x \neq 0 \) будут решением неравенства при пресловутых условиях, что знаменатель не равен нулю.
Шаг 5: Проверка исключения
Проверим \( x = 0 \):
\[ \frac{2^{0+1} - 1}{2^0 - 1} = \frac{2 - 1}{1 - 1}, \]
что приводит к делению на ноль, поэтому \( x = 0 \) не включается в решение.
Ответ
Все целые числа \( x \), кроме \( x = 0 \), являются решениями данного неравенства.
