Давайте решим все предложенные задачи одну за другой, с подробным объяснением.
Задача 1
Семь девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?
Решение:
Когда мы имеем дело с расположением людей в кругу, важно помнить, что круговое расположение отличается от линейного. При круговом расположении, один из людей можно фиксировать (например, поставить в определённое место), и затем располагать остальных.
Таким образом, для 7 девушек в кругу количество способов будет:
[
(7-1)! = 6! = 720.
]
Задача 2
Сколько различных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если ни одна из цифр не повторяется? (число не может начинаться с нуля)
Решение:
Мы должны учитывать, что цифра 0 не может стоять на первом месте.
- Для первой цифры (первое место) у нас есть 3 выбора: 1, 2 или 3.
- После выбора первой цифры остаются 3 цифры, которые могут занять второе место (включая 0).
- Далее остаются 2 выбора для третьего места и 1 выбор для последнего (четвёртого).
Следовательно, общее количество чисел будет:
[
3 \times 3! = 3 \times 6 = 18.
]
Задача 3
На танцплощадке собрались № юношей и № девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?
Решение:
Допустим, что n юношей и n девушек. Каждый юноша может быть paired with одной из девушек, и, следовательно, количество способов, которыми n юношей могут образовать пары с n девушками, будет равно n! (факториал).
Таким образом, ответ:
[
n! \text{ (факториал из числа юношей или девушек)}.
]
Задача 4
Код для сейфа фирмы Невлезайубьет должен состоять из десяти различных цифр и 33 различных букв. Как долго будет выбирать новый код?
Решение:
Сначала определим общее количество символов. У нас есть 10 разных цифр (0-9) и 33 разные буквы. Также код должен содержать 10 различных символов, что подразумевает, что мы можем выбрать любые 10 из 43 символов (10 цифр + 33 буквы).
Количество способов выбрать 10 символов из 43:
[
C(43, 10) \text{ (комбинации)}.
]
Каждый раз, когда мы выбрали 10 символов, мы можем организовать их разными способами:
[
10! \text{ (перестановки)}.
]
Таким образом, общее количество кодов:
[
C(43, 10) \cdot 10!.
]
Задача 5
В футбольной команде 2 нападающих, 4 полузащитника, 4 защитника и 1 вратарь. Сколькими способами можно построить их в ряд так, чтобы первым стоял вратарь, за ним стояли защитники, затем полузащитники и в конце - нападающие?
Решение:
Поскольку вратарь фиксирован на первом месте, нам необходимо только расположить защитников, полузащитников и нападающих.
Защитников — 4. Способы их расположения будут:
[
4! = 24.
]
Полузащитников — 4. Способы их расположения будут:
[
4! = 24.
]
Нападающих — 2. Способы их расположения будут:
[
2! = 2.
]
Итак, общее количество способов построить команду:
[
4! \times 4! \times 2! = 24 \times 24 \times 2 = 1152.
]
Задача 6
Человек забыл две последние цифры в семизначном телефонном номере. Он помнит только, что все цифры номера были неодинаковые. Сколько телефонных номеров ему придется опробовать, чтобы дозвониться?
Решение:
У нас есть 10 разных цифр (0-9) и номер состоит из 7 цифр. Поскольку две последние цифры известны, мы сосредоточимся на том, чтобы узнать, как можно выбрать две оставшиеся цифры так, чтобы они не повторялись.
- Для первой цифры (из двух оставшихся) — 8 возможных (так как одна цифра уже занята, а для последней — 9, так как тут не может быть повторения).
Таким образом, количество возможных комбинаций двух различных цифр, начиная с 0:
[
9 \times 8.
]
Эти оба выбора могут быть в любых местах (позиции двоих последних цифр), но так как у нас 2 позиции, ответ будет:
[
9 \times 8 = 72.
]
Таким образом, общее количество телефонных номеров, которые он будет пробовать, равно 72.
На этом все! Если у Вас есть еще вопросы или задачи, не стесняйтесь спрашивать!
