Ответы можно и нужно оставлять в виде факториалов, где это возможно. Не стоит подсчитывать, сколько именно будет 8! 40320, но это не принципиально. 1. Семь девушек водят хоровод.…

Давайте решим все предложенные задачи одну за другой, с подробным объяснением.

Задача 1

Семь девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

Решение:

Когда мы имеем дело с расположением людей в кругу, важно помнить, что круговое расположение отличается от линейного. При круговом расположении, один из людей можно фиксировать (например, поставить в определённое место), и затем располагать остальных.

Таким образом, для 7 девушек в кругу количество способов будет: \[ (7-1)! = 6! = 720. \]

Задача 2

Сколько различных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если ни одна из цифр не повторяется? (число не может начинаться с нуля)

Решение:

Мы должны учитывать, что цифра 0 не может стоять на первом месте.

1. Для первой цифры (первое место) у нас есть 3 выбора: 1, 2 или 3.
2. После выбора первой цифры остаются 3 цифры, которые могут занять второе место (включая 0).
3. Далее остаются 2 выбора для третьего места и 1 выбор для последнего (четвёртого).

Следовательно, общее количество чисел будет: \[ 3 \times 3! = 3 \times 6 = 18. \]

Задача 3

На танцплощадке собрались № юношей и № девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?

Решение:

Допустим, что n юношей и n девушек. Каждый юноша может быть paired with одной из девушек, и, следовательно, количество способов, которыми n юношей могут образовать пары с n девушками, будет равно n! (факториал).

Таким образом, ответ: \[ n! \text{ (факториал из числа юношей или девушек)}. \]

Задача 4

Код для сейфа фирмы Невлезайубьет должен состоять из десяти различных цифр и 33 различных букв. Как долго будет выбирать новый код?

Решение:

Сначала определим общее количество символов. У нас есть 10 разных цифр (0-9) и 33 разные буквы. Также код должен содержать 10 различных символов, что подразумевает, что мы можем выбрать любые 10 из 43 символов (10 цифр + 33 буквы).

Количество способов выбрать 10 символов из 43: \[ C(43, 10) \text{ (комбинации)}. \]

Каждый раз, когда мы выбрали 10 символов, мы можем организовать их разными способами: \[ 10! \text{ (перестановки)}. \]

Таким образом, общее количество кодов: \[ C(43, 10) \cdot 10!. \]

Задача 5

В футбольной команде 2 нападающих, 4 полузащитника, 4 защитника и 1 вратарь. Сколькими способами можно построить их в ряд так, чтобы первым стоял вратарь, за ним стояли защитники, затем полузащитники и в конце - нападающие?

Решение:

Поскольку вратарь фиксирован на первом месте, нам необходимо только расположить защитников, полузащитников и нападающих.

1. Защитников — 4. Способы их расположения будут: \[ 4! = 24. \]

2. Полузащитников — 4. Способы их расположения будут: \[ 4! = 24. \]

3. Нападающих — 2. Способы их расположения будут: \[ 2! = 2. \]

Итак, общее количество способов построить команду: \[ 4! \times 4! \times 2! = 24 \times 24 \times 2 = 1152. \]

Задача 6

Человек забыл две последние цифры в семизначном телефонном номере. Он помнит только, что все цифры номера были неодинаковые. Сколько телефонных номеров ему придется опробовать, чтобы дозвониться?

Решение:

У нас есть 10 разных цифр (0-9) и номер состоит из 7 цифр. Поскольку две последние цифры известны, мы сосредоточимся на том, чтобы узнать, как можно выбрать две оставшиеся цифры так, чтобы они не повторялись.

1. Для первой цифры (из двух оставшихся) — 8 возможных (так как одна цифра уже занята, а для последней — 9, так как тут не может быть повторения).

Таким образом, количество возможных комбинаций двух различных цифр, начиная с 0: \[ 9 \times 8. \]

Эти оба выбора могут быть в любых местах (позиции двоих последних цифр), но так как у нас 2 позиции, ответ будет: \[ 9 \times 8 = 72. \]

Таким образом, общее количество телефонных номеров, которые он будет пробовать, равно 72.

На этом все! Если у Вас есть еще вопросы или задачи, не стесняйтесь спрашивать!