В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB = 5/ 8, AB=32. Найдите AC.
Чтобы найти сторону AC в треугольнике ABC с указанными данными, давайте используем тригонометрические соотношения и свойства прямоугольного треугольника.
Дано:
- Угол C равен 90°.
- sin(B) = 5/8.
- Длина стороны AB = 32 (гипотенуза в прямоугольном треугольнике).
Находим сторону BC: Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике sin угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе. В нашем случае: \[ \sin(B) = \frac{BC}{AB} \] Подставим известные значения: \[ \frac{5}{8} = \frac{BC}{32} \] Теперь решим это уравнение для BC: \[ BC = 32 \cdot \frac{5}{8} = 32 \cdot 0.625 = 20 \] Итак, длина стороны BC равна 20.
Находим сторону AC: Теперь нам нужно найти сторону AC. Мы можем это сделать, используя теорему Пифагора, которая говорит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим известные значения: \[ 32^2 = AC^2 + 20^2 \] Посчитаем квадраты: \[ 1024 = AC^2 + 400 \] Теперь вычтем 400 из обеих сторон: \[ AC^2 = 1024 - 400 = 624 \] Теперь найдем AC, извлекая квадратный корень: \[ AC = \sqrt{624} \] Это значение можно упростить: \[ AC = \sqrt{16 \cdot 39} = 4\sqrt{39} \]
Ответ: Таким образом, сторона AC равна \( 4\sqrt{39} \) или примерно \( 24.49 \) в десятичной форме.
Мы получили ответ, и теперь вы можете понять, как использовать тригонометрию и теорему Пифагора для решения задач в прямоугольных треугольниках!
