Пружинный маятник с жесткостью 100 Н/м колеблется вертикально с амплитудой 15см. С какой максимальной скоростью он может двигаться, если масса груза равна 50г?
Чтобы найти максимальную скорость пружинного маятника, нам нужно использовать закон сохранения энергии. Колебания пружинного маятника могут быть описаны как преобразование потенциальной энергии в кинетическую и наоборот.
Определение потенциальной энергии: Поскольку маятник колеблется, в максимальной точке (амлитуда) вся энергия системы находится в виде потенциальной энергии пружины. Потенциальная энергия пружины определяется формулой: \[ U = \frac{1}{2} k x^2 \] где \(U\) — потенциальная энергия, \(k\) — жесткость пружины (100 Н/м), \(x\) — максимальное отклонение (амплитуда, 15 см = 0,15 м).
Подставим данные в формулу: \[ U = \frac{1}{2} \cdot 100 \, \text{Н/м} \cdot (0,15 \, \text{м})^2 \] \[ U = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0,0225 \] \[ U = 1,125 \, \text{Дж} \]
Определение кинетической энергии: В точке, где скорость максимальна (в такой точке пружина проходит через равновесное положение), потенциальная энергия равна нулю, и вся энергия системы превращается в кинетическую энергию груза. Кинетическая энергия определяется формулой: \[ K = \frac{1}{2} m v^2 \] где \(K\) — кинетическая энергия, \(m\) — масса груза (50 г = 0,05 кг), \(v\) — скорость.
Находим максимальную скорость, подставив \(K = U\): \[ U = \frac{1}{2} m v^2 \] \[ 1,125 = \frac{1}{2} \cdot 0,05 \cdot v^2 \]
Решение уравнения для скорости: Умножим обе стороны на 2: \[ 2,25 = 0,05 v^2 \]
Затем разделим обе стороны на 0,05: \[ v^2 = \frac{2,25}{0,05} = 45 \]
Теперь извлечем корень: \[ v = \sqrt{45} \approx 6,71 \, \text{м/с} \]
Таким образом, максимальная скорость пружинного маятника составляет approximately 6,71 м/с.
