Упростите выражение: 4sin(π/6 + x)cos(x) - 2cos(π/3 - 2x)

Чтобы упростить выражение \( 4\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right)\cos(x) - 2\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) \), давайте разберём его шаг за шагом. 1. **Разложим первое слагаемое с использованием формулы синуса суммы.** Формула для синуса суммы выглядит так: \[ \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \] Подставим \( a = \frac{\pi}{6} \) и \( b = x \): \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos(x) + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin(x) \] Зная, что \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \) и \( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), подставляем в выражение: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = \frac{1}{2}\cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) \] Теперь подставим это в первое слагаемое: \[ 4\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right)\cos(x) = 4\left(\frac{1}{2}\cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\right)\cos(x) \] Мы можем упростить: \[ = 4\left(\frac{1}{2} \cos^2(x) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) \cos(x)\right) = 2\cos^2(x) + 2\sqrt{3}\sin(x)\cos(x) \] 2. **Теперь займёмся вторым слагаемым.** Используем формулу для косинуса разности: \[ \cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) \] Подставим \( a = \frac{\pi}{3} \) и \( b = 2x \): \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(2x) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(2x) \] Зная, что \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \) и \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) \] Подставляем во второе слагаемое: \[ -2\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = -2\left(\frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x)\right) = -\cos(2x) - \sqrt{3}\sin(2x) \] 3. **Теперь объединим оба слагаемых:** \[ 2\cos^2(x) + 2\sqrt{3}\sin(x)\cos(x) - \cos(2x) - \sqrt{3}\sin(2x) \] Теперь мы можем использовать связь между функциями для дальнейшего упрощения. Давайте воспользуемся тождествами для \( \cos(2x) \) и \( \sin(2x) \): \[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \] \[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \] 4. **Подставляем** \( \cos(2x) \) и \( \sin(2x) \): \[ 2\cos^2(x) + 2\sqrt{3}\sin(x)\cos(x) - (2\cos^2(x) - 1) - \sqrt{3}(2\sin(x)\cos(x)) \] Упрощаем: \[ 2\cos^2(x) + 2\sqrt{3}\sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x) + 1 - 2\sqrt{3}\sin(x)\cos(x) \] Здесь \( 2\cos^2(x) \) и \( -2\cos^2(x) \) взаимно уничтожаются, и остаётся: \[ 1 \] 5. **Заключительный ответ:** \[ 4\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right)\cos(x) - 2\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = 1 \] Таким образом, итоговое упрощённое выражение равно 1.