треугольнике Q R T QRT ∠ T = 30 ° ∠T=30° , ∠ R = 45 ° ∠R=45° , Q T = 5 2 QT=5 2 ​ . Найди длину Q R QR .

Чтобы найти длину стороны \( QR \) в треугольнике \( QRT \) с заданными углами и одной известной стороной, мы можем воспользоваться теорией о соотношениях в треугольниках и тригонометрию, в частности, теоремой синусов.

Дано:

• Угол \( \angle T = 30^\circ \)
• Угол \( \angle R = 45^\circ \)
• Сторона \( QT = 5 \) (предположительно, это \( 5 \) см)

Шаг 1: Найдем угол \( \angle Q \)

Сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^\circ \). Значит, мы можем выразить угол \( \angle Q \): \[ \angle Q = 180^\circ - \angle T - \angle R = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ \]

Шаг 2: Применим закон синусов

Согласно закону синусов, в любом треугольнике, отношение длины стороны к синусу противоположного угла постоянно. Это можно записать так: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] где:

• \( a, b, c \) — длины сторон треугольника,
• \( A, B, C \) — углы, противоположные этим сторонам соответственно.

В нашем случае присвоим обозначения:

• \( QT = 5 \) (противоположен углу \( R = 45^\circ \))
• \( QR = ? \) (противоположен углу \( T = 30^\circ \))
• \( RT \) (противоположен углу \( Q = 105^\circ \))

Теперь применим закон синусов: \[ \frac{QT}{\sin R} = \frac{QR}{\sin T} \]

Шаг 3: Подставим известные значения

Подставим известные значения в уравнение: \[ \frac{5}{\sin 45^\circ} = \frac{QR}{\sin 30^\circ} \]

Известно, что:

• \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)

Подставляем: \[ \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{QR}{\frac{1}{2}} \]

Шаг 4: Упростим уравнение

Преобразуем: \[ 5 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = QR \cdot 2 \] Отсюда: \[ \frac{10}{\sqrt{2}} = QR \cdot 2 \] Разделим обе стороны на \( 2 \): \[ QR = \frac{10}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} \]

Шаг 5: Упростим результат

Для удобства умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \): \[ QR = \frac{5\sqrt{2}}{2} \]

Ответ

Длина стороны \( QR \) составляет \( \frac{5\sqrt{2}}{2} \) см, что приблизительно равно \( 3.54 \) см.