Треугольнике  Q R T QRT  ∠ T = 30 ° ∠T=30°,  ∠ R = 45 ° ∠R=45°,  Q T = 5 2 QT=5 2 ​ . Найди длину  Q R QR.

Чтобы найти длину стороны \( QR \) в треугольнике \( QRT \) с заданными углами и одной известной стороной, мы можем воспользоваться теорией о соотношениях в треугольниках и тригонометрию, в частности, теоремой синусов. ### Дано: - Угол \( \angle T = 30^\circ \) - Угол \( \angle R = 45^\circ \) - Сторона \( QT = 5 \) (предположительно, это \( 5 \) см) ### Шаг 1: Найдем угол \( \angle Q \) Сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^\circ \). Значит, мы можем выразить угол \( \angle Q \): \[ \angle Q = 180^\circ - \angle T - \angle R = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ \] ### Шаг 2: Применим закон синусов Согласно закону синусов, в любом треугольнике, отношение длины стороны к синусу противоположного угла постоянно. Это можно записать так: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] где: - \( a, b, c \) — длины сторон треугольника, - \( A, B, C \) — углы, противоположные этим сторонам соответственно. В нашем случае присвоим обозначения: - \( QT = 5 \) (противоположен углу \( R = 45^\circ \)) - \( QR = ? \) (противоположен углу \( T = 30^\circ \)) - \( RT \) (противоположен углу \( Q = 105^\circ \)) Теперь применим закон синусов: \[ \frac{QT}{\sin R} = \frac{QR}{\sin T} \] ### Шаг 3: Подставим известные значения Подставим известные значения в уравнение: \[ \frac{5}{\sin 45^\circ} = \frac{QR}{\sin 30^\circ} \] Известно, что: - \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) - \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) Подставляем: \[ \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{QR}{\frac{1}{2}} \] ### Шаг 4: Упростим уравнение Преобразуем: \[ 5 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = QR \cdot 2 \] Отсюда: \[ \frac{10}{\sqrt{2}} = QR \cdot 2 \] Разделим обе стороны на \( 2 \): \[ QR = \frac{10}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} \] ### Шаг 5: Упростим результат Для удобства умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \): \[ QR = \frac{5\sqrt{2}}{2} \] ### Ответ Длина стороны \( QR \) составляет \( \frac{5\sqrt{2}}{2} \) см, что приблизительно равно \( 3.54 \) см.